INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

3.2. ÁLGEBRAS DE LIE 663.2. Álgebras de LiePara de…nir un álgebra de Lie, es necesario conocer primero las translaciones(derecha e izquierda) del grupo G por un elemento a 2 GDe…nición 3.2.1. Sean a y g elementos de un grupo de Lie G.De…nimosla translación derechaR a : G ! G;g ! R a g = ga: (3.12)y la translación izquerdaL a : G ! G;g ! L a g = ag: (3.13)Por de…nición R a y L a son difeomor…smos de G a G, por ello inducen los mapeosdL a : T g G ! T ag G y dR a : T g G ! T ga G:Un campo vectorial X en G es invariante por la derecha (por la izquierda)si es invariante bajo la acción de la translación izquierda (derecha).Los camposvectoriales invariantes, ya sea por la derecha o por la izquierda son siemprediferenciables.