INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 37iii: Si K es una subcolección …nita de I, la familia fU k jk 2 Kg; satisfaceTU k 2 T :k2KEn esta de…nición, X es llamado el espacio topológico, los conjuntos U i son losconjuntos abiertos y T es la topología. Los elementos cerrados de la topología sonlos complementos de los conjuntos abiertos.Un espacio topológico tiene al menos dos topologías: la discreta y la no-discreta.Para la topología discreta cada uno de sus elementos es un abierto de X. Mientrasque en una topología indiscreta los únicos elementos son /0 y X: Estas topologíasson conexas.Un espacio topológico de gran utilidad en el área de la física sonlos espacios llamados de Hausdor¤.Podemos de…nirlos como para cada p; q 2 Mexisten subconjuntos abiertos A; B tales que p 2 A y q 2 B con A \ B = /0:Para de…nirlo formalmente, primero de…niremos los conceptos de vecindad yentorno.Para las siguientes de…niciones tomaremos (X; T x ) un espacio topológico y x 2X:De…nición 2.5.2. Si U 2 T y x 2 U; entonces U es una vecindad de x. Lacual denotaremos como U x : 3De…nición 2.5.3. Un entorno N de x es un subconjunto de N X tal quex 2 N y existe una vecindad U x N.3 Podemos decir, según la de…nición, que cualquier espacio abierto que contenga x es una vecindadde x: