INSTITUTO POLITÃCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

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1.1. RELATIVIDAD GENERAL Y ESPECIAL 12y para ello es necesario un aparato matemático que vincule ambos términos.Ylas encargadas de tal misión son precisamente las ecuaciones de Einstein, éstas sonun conjunto de ecuaciones tensoriales que en forma general se expresan comoG = 8T (1.18)donde G 8 es el tensor de curvatura de Einstein, representa en términos simples lacurvatura del espacio-tiempo; y T 9 es el tensor de energía-momento, y representala masa y sus propiedades.He aquí la belleza y la elegancia de toda la Teoría!!"La materia y la energía cambian la geometría del espacio-tiempo,dando origen a lo que llamamos el campo gravitacional"Para continuar con esta breve introducción, debemos detenernos a analizar, lasprincipales ideas de la teoría de cuerdas, que nos ayudaran a comprender un pocoel signi…cado físico del las ecuaciones de la teoría EMDA.Una de las cosas básicas de una cuerda es que puede vibrar en muchasformas, las cuales dan a la música su belleza.Para entender la geometría diferencial es necesario conocer ciertas de…nicionesmatemáticas de gran utilidad.La diferenciación covariante, la cual nos ayuda ade…nir el transporte paralelo, es decir, la derivada de un vector sobre una curva,para de…nir así las geodésicas.La derivada covariante se de…ne a traves de los8 Depende de las derivadas de la métrica g , y por lo tanto representan la naturaleza dinámicade la geometría en la teoría.9 Nos da la cantidad de materia y energía presente en la región del espacio-tiempo considerada.
1.1. RELATIVIDAD GENERAL Y ESPECIAL 13símbolos de Christo¤el.Podemos de…nir los símbolos de Christo¤el como[pq; r] = 1 2 [g qr;p + g rp;q g pq;r ]; (1.19)para los de primer clase y i= g ir [pq; r] = 1 pq2 gir [g qr;p + g rp;q g pq;r ];de segundo orden. Con ellos podemos de…nir la derivada covarianteDe…nición 1.1.1. Sea M una variedad Riemanniana 10 con métrica de…nida,entoncesDX idt= dXidt+ iX p dxqpq dt ; (1.20)es la derivada covariante.La de…nición anterior nos ayuda a discernir cuándo un campo es paralelo delongitud constante,Proposición 1.1.1. X i es un campo paralelo constante sí y sólo síDX idt= 0; (1.21)para todos los caminos en la variedad.10 Recordando que una variedad Riemanniana es una variedad diferenciable M con una métricariemanniana, es decir, un producto escalar en cada espacio tangente que se mueve suavemente.
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