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1.1. RELATIVIDAD GENERAL Y ESPECIAL 14De…nimos el transporte paralelo de un vector X i sobre cada punto de la variedadde tal manera que cumpla la proposición anterior.El transporte paraleloes la manera más económica de llevar un vector tangente a la variedad a lo largode una curva.Podemos ahora de…nir una clase especial de curvas, llamadasgeodésicas.Una geodésica es aquella que transporta paralelamente su propiovector tangente; las curvas geodésicas satisfacen d 2 X i i dXpdX q+ds 2 pq ds ds= 0: (1.22)Las geodésicas son la generalización de las líneas rectas en espacios curvos.Otro tensor sumamente importante en la relatividad general es el tensor decurvatura o tensor de Riemann, el cual nos da la curvatura de la variedad Riemanniana.Es una función, que describe la diferencia entre r k r l y r l r k , es decirel grado en el que la variedad se aleja de un espacio Euclidiano, nos dice que tancurvo es el espacio en el que estamos.Se de…ne comoR a bcd =i bcaidibd a ic + a bc;dabd;c; (1.23)en términos del tensor métrico 11R abcd = 1 2 (g bc;ad g bd;ac + g ad;bc g ac;bd ) + j ad bjcjac bjd: (1.24)11 Con jih = j ih y a bc;d = @ a bc@x d
1.1. RELATIVIDAD GENERAL Y ESPECIAL 15Algunas propiedades del tensor de curvatura sonR abcd = R abdc = R bacd ; (1.25)R abcd = R cdab; (1.26)yR abcdje + R abecjd + R abdejc = 0; (1.27)que son las identidades de Bianchi 12 .De…nimos el tensor de Ricci comoR ab = R i aib; (1.28)y el escalar de Ricci o simplemente curvatura comoR = g ab R ab : (1.29)Finalmente, jugaremos un poco con las identidades de Bianchi. Multiplicandog bc por 1.27,g bc [R abcdje + R abecjd + R abdejc ] = 0; (1.30)R adje + R aejd + R c adejc = 0; (1.31)12 X i jq = @Xi@x q + i pqX p la derivada parcial covariante.
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