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5.1. ECUACIONES QUIRALES 86las ecuaciones quirales para g se de…nen como(g ;z g 1 ) ;z + (g ;z g 1 ) ;z = 0; (5.1)donde 2 = det g.El grupo de Lie G debe se ser paracompacto para garantizar la existencia deuna métrica en el espacio correspondiente.Tomando g = e ; la ecuación quiral (5.1) se transforma en( ;z ) ;z + ( ;z ) ;z = 0;con = z + z: Haciendo el cambio z = + i en la ecuación anterior, obtenemosla ecuación de Laplace en coordenadas polares( ; ) ; + ( ; ) ; = 0;de manera similar, tomando el cambio de variable adecuado, es posible obtener laecuación de Laplace en coordenadas esféricas.Es importante mencionar que las ecuaciones quirales (5.1) son derivadas de laLagrangianaL = tr(g ;z g 1 g ;z g 1 ); (5.2)que representa una teoría topológica cuántica de campo con el grupo de norma G,además de ser invariantes bajo el subgrupo G c G:
5.1. ECUACIONES QUIRALES 87Nota 1. Sea G c un subgrupo G c G tal que c 2 G c implica c ;z = 0, c ;z = 0.Tenemos que (5.1) es invariante bajo la acción izquierda L c de G c sobre G.Una vez que hemos de…nido las ecuaciones quirales, presentaremos el métodopara hallar la forma explícita de g 2 G; en términos de z y z.Otras consecuencias importantes de las ecuaciones quirales se presenta en lasiguiente proposión.Proposición 5.1.1. La función = det g es armónica.Demostración. Utilizando tr(A ;x A 1 ) = ln(det A) ;x y tomando la traza de (5.1),obtenemos0 = tr((g ;z g 1 ) ;z + (g ;z g 1 ) ;z )= ( ln(det g) ;z ) ;z + ( ln(det g) ;z ) ;z= ( ln() ;z ) ;z + ( ln() ;z ) ;z= 2 ;zzlo cual implica ;zz = 0:Proposición 5.1.2. Sea una función compleja dada por ;z = tr(g ;zg 1 ) 24(ln ) ;z;
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ContenidoINTRODUCCIÓNiiiCAPÍTULO
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INTRODUCCIÓNMuchos son los misteri
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INTRODUCCIÓNvEn este trabajo, pres
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1.2. TEORíA DE CUERDAS 17donde es
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CAPÍTULO 2GEOMETRÍA DIFERENCIAL Y
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2.2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y E
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