INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 50Lo cual tiene varias implicaciones.Primero, es antisimetrico[X; Y ] = [Y; X]; (2.66)y satisface condiciones de bilinealidad[aX + bY; Z] = a[X; Z] + b[X; Z]: (2.67)Segundo, cumple con[X; [Y; Z]]f = X([Y; Z]f) [Y; Z](Xf) (2.68)= X(Y (Zf)) X(Z(Y f)) Y (Z(Xf)) + Z(Y (Xf)); (2.69)de la anterior, es posible inferir la identidad de Jacobi[X; [Y; Z]] + [Y; [Z; X]] + [Z; [X; Y ]] = 0: (2.70)Un espacio vectorial sobre los reales que de…ne un mapeo como (2.64) es llamadoun álgebra de Lie 7 real, siempre que éste cumpla con las propiedades anteriores.Con ésto concluimos que el conjunto de todos los campos vectoriales en M es unálgebra de Lie real.7 Las algebras de Lie se verán más adelante.