INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 49Sean X y Y un par de campos vectoriales en M, cada uno satisfaceX(af + bg) = a(Xf) + b(Xg) (2.61)X(fg) = (Xf)g + f(Xg) (2.62)es decir, satisfacen linealidad y la regla de derivación. Pero para f y g dos funcionessuaves en p, tenemos de (2.61) y (2.62)XY (fg) = X((Y f)g + f(Y g))= (XY f)g + (Y f)(Xg) + (Xf)(Y g) + f(XY g) (2.63)de lo que podemos ver, que a pesar de que los operadores X y Y están de…nidoscomo derivadas, no lo son del todo.todos los espacios vectoriales en M.Y al no serlo no pertenecen al conjunto deEl problema radica en el segundo y tercertérmino en la ecuación anterior, por lo cual, deben de ser eliminados. Introducimosentonces[X; Y ] = XY Y X; (2.64)el paréntesis de Lie, de tal manera que[X; Y ](fg) = ([X; Y ]f)g + f([X; Y ]g); (2.65)con lo cual, es en efecto una derivación; más aún, también es un campo vectorial.