INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 48Una vez de…nidos los espacios tangente y cotangente, podemos de…nir un tensorde tipo (q; r):De…nición 2.5.17. Un tensor de tipo (q; r) es un objeto multilineal, que mapeaq elementos de T p M y r elementos T p M a R.El conjunto de todos los tensores de tipo (q; r) es T qr M, podemos escribir suselementos comoT = T 1 ::: q 1 ::: r@@x 1 ::: @@x q dx 1 ::: dx r : (2.59)Para …nes prácticos es conveniente trabajar con campos vectoriales en M: Tenemosun campo vectorial cuando para cada punto de M asignamos un vector. Estaasignación debe de ser suave.De…nimos formalemte un campo tensorial de tipo (q; r) como [27].De…nición 2.5.18. El conjunto de funciones T 1 ::: q 1 ::: rforma parte de uncampo tensorial en la variedad M, si éste se transforma de acuerdo con la relaciónT 1 ::: q 1 ::: r(x) = @x 1@x 1 :::@x q@x q @x 1@x 1 :::@x r@x q T 1::: q1 ::: r(x): (2.60)A la unión de todos los espacios T p M; mientras p corre sobre M; se denota haztangente T M.Similarmente, en el caso de T p M tendrémos un haz cotangenteT M, siendo éste, la unión de todos los espacios contangentes.