INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

3.1. GRUPOS DE LIE 63los elementos del grupo de Lie, es una variedad. La dimensión de la variedad queparametriza al grupo de Lie es la dimensión del grupo.Es el número de parámetrosreales continuos que se requieren para describir cada operación en el grupo demanera única. [29]Como mencionamos anteriormente, los grupos de Lie unen la geometría (topología)y el álgebra, ahora veremos brevemente como ocurre está uni…cación.De lade…nición, un grupo de Lie consiste de una variedad M n el cual parametriza lasoperaciones del grupo (g(x); x 2 M n ) y una operación combinatoria de…nida porg(x) g(y) = g(z); (3.3)donde z 2 M n depende de las coordenadas x; y 2 M n por medio de una funciónz = (x; y):Existen dos axiomas topológicos para un grupo de Lie Suavidad del mapeo de composición del grupo:El mapeo z = (x; y),de…nido por (3.3), es diferenciable. Suavidad del mapeo de inversión del grupo: El mapeo y = (x); de…nidoporg(x) 1 = g(y) = g( (x)); (3.4)es diferenciable.Otra de las características importantes de los grupos de Lie, es el hecho de quepodemos determinar casi todas sus caracteristicas estudiando grupos de matrices.