INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

3.2. ÁLGEBRAS DE LIE 69independientes en el álgebra de Lie -una base para el espacio vectorial lineal- y conellos expandir cualquier g. Sea fV 1 ; :::; V n g base de T e G, ésta de…ne un conjunto decampos vectoriales linealmente independientes fX 1 ; :::; X n g en cada punto g 2 Gpor medio de X j g = dL g V : Debido a la cerradura del álgebra bajo la acción delparéntesis de Lie, tenemos que [X ; X ]j g un elemento de g, puede ser expandidoen términos de fX 1 ; :::; X n g, como[X ; X ] = c X ; (3.22)con c las constantes de estructura del grupo de Lie G 1 .En cierto sentido, lasconstantes de estructura determinan el grupo de Lie completamente.De manera similar a como proponemos la base fX g, podemos introducir labase dual f g, para la cual tenemosh ; X i = ; (3.23)La base f g T G es una base para las 1-formas invariantes por la izquierda.Proposición 3.2.1. La base dual f g cumple con la ecuación de estructurade Maurer-Cartan [10]d = 1 2 c ^ : (3.24)1 Las cuales están determinadas en e 2 G: