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5.3. MAPEOS ARMÓNICOS 92Además, la métrica esl = tr [A a (g)A b (g)] d a d b ; (5.11)los coe…cientes métricos song ab = tr [A a (g)A b (g)] :Utilizando el resultado del lema 5.2.1 y (5.10), se tiene la relaciónr b A a (g) = 1 2 [A a; A b ] (g): (5.12)Con (5.11) es posible calcular la curvatura de Riemman RR abcd = 1 4 tr A [a A b] A [c A d];con [a; b] la conmutación de los índices.De aquí se sigue querR = 0:5.3. Mapeos ArmónicosSea V p una subvariedad de G totalmente geodésica, con coordenadas localesf i g i = 1; 2; :::p, con i : V p ! R;
5.3. MAPEOS ARMÓNICOS 93además, consideramos que conocemos dicha subvariedad por completo.Además,V p es simétrica; las simetrías de G y V p son de hecho isometrías, ya que son variedadesparacompactas y sus métricas heredan dichas simetrías, siendo (5.9) lamétrica en G, mientras que podemos de…nir una métrica en V p por medio dei : V p ! G;siendo i la inclusión de V p en G.La métrica inducida en V p estará de…nida comoi l(v; u) = l(i v; i u);con v; u 2 T (V p ):Suponiendo que V p tiene d isometrías y que la matriz g depende de los parámetrosf i g; los cuales están dados por i : C C ! R( z ; z ) ! i (z; z);y son además parámetros totalmente geodésicos en V p : Por lo cual cumplen con laecuación armónica de…nida en V p( i ;z) ;z + ( i ;z) ;z + 2 i jk j ;z k ;z = 0;i; j; k = 1; ; p (5.13)
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INTRODUCCIÓNvEn este trabajo, pres
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