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2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 50Lo cual tiene varias implicaciones.Primero, es antisimetrico[X; Y ] = [Y; X]; (2.66)y satisface condiciones de bilinealidad[aX + bY; Z] = a[X; Z] + b[X; Z]: (2.67)Segundo, cumple con[X; [Y; Z]]f = X([Y; Z]f) [Y; Z](Xf) (2.68)= X(Y (Zf)) X(Z(Y f)) Y (Z(Xf)) + Z(Y (Xf)); (2.69)de la anterior, es posible inferir la identidad de Jacobi[X; [Y; Z]] + [Y; [Z; X]] + [Z; [X; Y ]] = 0: (2.70)Un espacio vectorial sobre los reales que de…ne un mapeo como (2.64) es llamadoun álgebra de Lie 7 real, siempre que éste cumpla con las propiedades anteriores.Con ésto concluimos que el conjunto de todos los campos vectoriales en M es unálgebra de Lie real.7 Las algebras de Lie se verán más adelante.
2.6. HACES FIBRADOS 512.6. Haces FibradosUna variedad es un espacio topológico que localmente luce como R m , pero noglobalmente.Un haz …brado es un espacio topológico que localmente luce comoel producto directo de dos espacios topológicos. Primero de…namos lo que es unhaz [10]De…nición 2.6.1. Un haz es un triplete (E; B; ) que consiste de dos espaciostopológicos E y B, con un mapeo continuo y sobre, llamado proyección : E ! B; (2.71)donde E es el espacio total y B es el espacio base Éstos se representanE?BLocalmente un haz es trivial, es decir, homeomór…co a un producto directo.Para de…nirlo formalmente es necesario saber cuando dos haces son homeomór…cos.De…nición 2.6.2. Sea = (E; B; ) y 0 = (E 0 ; B; 0 ) dos haces.Se dice queson isomorfos, si existe un homeomor…smo ' : E! E 0 , tales que 0 ' = : (2.72)
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INTRODUCCIÓNMuchos son los misteri
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