Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6.3 Relativistisk energi
Vi kunne nu vise, at denne relation er opfyldt ved at anvende transformationsegenskaberne
(3.18) for γ-funktionen. Imidlertid vælger vi at benytte os af et trick. Hertil
lader vi u → 0 (vi betragter alts˚a en sekvens af eksperimenter med stadigt lavere værdi
af u), hvorved følgelig w → v. Ligningen ovenfor er dermed opfyldt, hvorved vi har
verificeret, at impulsen er bevaret i det betragtede stød. Vi konkluderer s˚aledes, at vi
med (6.4) har et tilfredsstillende udtryk for den relativistiske impuls.
Indskud 6.1 Udtrykket (6.4) for den relativistiske impuls skrives til tider p˚a formen
p = m(u)u,
hvor man alts˚a har opgivet forestillingen om, at en partikels masse er en Lorentzinvariant,
og i stedet opfatter massen som en funktion af hastigheden
m(u) ≡ γ(u)m.
Her angiver m partiklens masse i klassisk forstand, alts˚a den inertielle masse for sm˚a
hastigheder, u/c ≪ 1. Denne kaldes nu partiklens hvilemasse for at skelne den fra den
relativistiske masse m(u).
Lad os understrege, at vi i denne fremstilling ikke benytter os af denne sprogbrug.
Vi fortsætter s˚aledes med at opfatte massen som en invariant og lader den relativistiske
impuls være defineret ved (6.4).
6.3 Relativistisk energi
Lad os nu kigge nærmere p˚a ligning (6.7), som i den ikke-relativistiske grænse tilsvarer
den klassiske mekaniks massebevarelse. I det almene tilfælde, er det˚abenbart ikke massen,
der er bevaret, men en størrelse γ(u)m, som afhænger af partiklernes hastighed.
I den klassiske mekanik kender vi kun én s˚adan bevaret størrelse, nemlig den kinetiske
energi af partikler i elastiske sammenstød. Her m˚a bevarelsen imidlertid gælde i alle
sammenstød, b˚ade elastiske og uelastiske, s˚a γ(u)m kan ikke repræsentere den kinetiske
energi. Imidlertid er jo den totale energi bevaret i ethvert sammenstød. Kunne det
da være, at γ(u)m repræsenterede partikelsystemets totale energi, og at totalenergien
af den enkelte partikel dermed repræsenteredes ved størrelsen γ(u)m. Svaret p˚a dette
spørgsm˚al viser sig at være“ja”.
Til belysning af dette forhold foretager vi rækkeudviklingen
γ(u)m = m 1− u2
c2 −1/2 = m+ 1
c2
1
2 mu2
+··· . (6.8)
Her identificerer vi det andet led som det klassiske udtryk for den kinetiske energi divideret
med kvadratet p˚a lyshastigheden. P˚a grund af den enorme størrelse af c 2 vil dette led
for ikke-relativistiske hastigheder være forsvindende sammenlignet med massen. Det har
derfor ikke kunnet observeres under klassiske forhold, og dette har ledt til den klassiske
mekaniks princip om massebevarelse.
93