Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

4-impuls
6 Relativistisk mekanik
mekanik være fuldstændig forkert.
Sammenfattende m˚a vi alts˚a kræve for den nye mekaniks love, (i) at de har samme
form i ethvert inertialsystem, og (ii) at de for ikke-relativistiske hastigheder er konforme
med de Newtonske love.
6.2 Den nye mekaniks aksiomer
Vi søger nu en Lorentz-invariant beskrivelse af mekanikken, som i det klassiske tilfælde
beskrives ved Newtons love. Idet vi indskrænker os til at betragte punktformede legemer,
beskæftiger mekanikken sig primært med partikelkollisioner, partikelsystemer og
partikler i eksterne felter. Lad os dog her understrege, at tyngdekraften antages fraværende
i den specielle relativitetsteori, idet denne finder sin beskrivelse i den generelle
relativitetsteori gennem en krumning af rumtiden.
Før vi p˚abegynder etableringen af den relativistiske mekanik, bør det understreges, at
denne ikke lader sig udlede ved logiske argumenter, men at vi m˚a indføre aksiomer og
derefter kontrollere de afledede fysiske lovmæssigheder empirisk.
Kraften, som er et centralt begreb i den klassiske mekanik, spiller en mindre fremtrædende
rolle i relativitetsteorien, hvor den primært manifesterer sig gennem den elektromagnetiske
Lorentz-kraft. Tyngdekraften er som allerede nævnt fraværende. Det er
derfor bekvemt at benytte impulsbevarelsen (som jo i den klassiske mekanik er et afledet
resultat) som udgangspunkt for den relativistiske mekanik.
6.2.1 Fire-impulsen og den relativistiske impuls
Idet vi søger en Lorentz-invariant mekanik, er det hensigtsmæssigt at basere formuleringen
p˚a 4-vektorer. Lorentz-invariansen er da automatisk sikret. Kravet om impulsbevarelse
m˚a da involvere partiklers 4-impuls, og vi søger nu en hensigtsmæssig definition af
denne.
Lad os starte med at antage, at den til enhver partikel knyttede inertielle masse, m,
som vi kender fra den klassiske mekanik, er en Lorentz-invariant størrelse. Vi kan da
definere en partikels 4-impuls i analogi med, hvordan 3-impulsen er defineret, nemlig
P = mU, (6.1)
hvor U er 4-hastigheden. Ligesom U er P hermed tidsagtig og peger mod fremtiden.
Idet U 2 = c 2 ifølge (5.24) f˚ar vi umiddelbart for enhver 4-impuls
Ved anvendelse af komponent-formen (5.22) for U finder vi
P 2 = m 2 c 2 . (6.2)
P = mU = mγ(u)(c,u) ≡ (γ(u)mc,p), (6.3)
hvor vi ved den sidste ligning har indført notationen
90
p = γ(u)mu. (6.4)