Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5 Rumtiden og fire-vektorer
homogen transformation af formen
∆x ′ = α11∆x+α12∆y +α13∆z
∆y ′ = α21∆x+α22∆y +α23∆z
∆z ′ = α31∆x+α32∆y +α33∆z,
hvor α’erne er funktioner af vinklerne, der bestemmer rotationen. Vi kan nu definere
Definition af en 3-vektor ved følgende sætning: Enhver størrelse med tre komponenter (a1,a2,a3),
3-vektor som transformerer p˚a samme m˚ade som forskydningsvektoren (∆x,∆y,∆z) mellem to
punkter i rummet, siges at udgøre en 3-vektor.
S˚afremt a = (a1,a2,a3) ogb = (b1,b2,b3) begge transformerer som (∆x,∆y,∆z), vil
summen a +b = (a1 + b1,a2 + b2,a3 + b3) som følge af lineariteten af (5.6) gøre det
samme. Summen af to vektorer er derfor en vektor. Tilsvarende følger det umiddelbart
af (5.6), at hvis k er en skalar invariant (ofte blot kaldet en“skalar”eller en“invariant”) –
alts˚a et tal, som er uafhængig af koordinatsystemet – s˚a er ogs˚a ka ≡ (ka1,ka2,ka3) en
vektor.
S˚afremt r = (x,y,z) er et punkt p˚a en kurve i rummet, og hver af koordinaterne
udtrykkes som funktion af kurvelængden l, s˚a er“enheds-tangenten”
t = dr
dl =
dx dy dz
, , (5.7)
dl dl dl
en vektor. For hver af komponenterne har vi nemlig
dri
dl
∆ri
= lim
∆l→0 ∆l ,
(5.6)
hvor ∆ri er komponenterne af en vektor og ∆l er en skalar invariant. Kvotienten mellem
disse to giver dermed ifølge ovennævnte argumentation komponenterne af en ny vektor,
og grænseovergangen ændrer intet ved dette forhold. Betragter vi nu en partikelbevægelse,
hvor koordinaterne er funktioner af tiden t, ser vi ved lignende argumenter, at
hastigheden
u = dr
dt =
dx dy dz
, ,
dt dt dt
(5.8)
er en vektor. Generelt indser vi, at enhver differentiation af en vektor med hensyn til en
skalar invariant giver en ny vektor. S˚aledes er ogs˚a accelerationena = du/dt = (dux/dt,
duy/dt, duz/dt) en vektor. Multiplicerer vi dernæst henholdsvis u og a med massen
m, som jo er en skalar, f˚ar vi to nye vektorer, nemlig impulsen, p = mu, og kraften,
F = ma.
Til enhver vektor a = (a1,a2,a3) hører en vigtig skalar, nemlig dens længde, som vi
betegner |a| eller simpelthen a:
a 2 = a 2 1 +a 2 2 +a 2 3, a ≥ 0. (5.9)
At dette er en invariant følger umiddelbart af, at ∆r 2 = ∆x 2 +∆y 2 +∆z 2 per definition
er invariant i det Euklidiske rum, og at (a1,a2,a3) transformerer som (∆x,∆y,∆z). Hvis
78