Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5.9 Fire-accelerationen<br />
Idet kvadratet p˚a 4-hastighe<strong>den</strong> er konstant, U 2 = U·U = c 2 , f˚as ved at differentiere<br />
med hensyn <strong>til</strong> egenti<strong>den</strong><br />
dU 2<br />
dτ<br />
= 2U· dU<br />
dτ<br />
Der gælder alts˚a i almindelighed sammenhængen<br />
= 2U·A = 0. (5.28)<br />
U·A = 0. (5.29)<br />
En partikels 4-hastighed og 4-acceleration er s˚aledes ortogonale, uafhængigt af hvordan<br />
partiklen bevæger sig i rumti<strong>den</strong>.<br />
5.9.1 Transformation af acceleration<br />
Ligesom vi i Afsnit 5.8.1 udledte transformationsreglerne for hastighe<strong>den</strong> fra 4-hastighe<strong>den</strong>,<br />
kan vi udlede transformationsregler for accelerationen fra 4-accelerationen. Vi<br />
vil her indskrænke os <strong>til</strong> at bestemme transformationen mellem partiklens øjeblikkelige<br />
hvilesystem og laboratoriesystemet.<br />
I partiklens øjeblikkelige hvilesystem S ′ er 4-accelerationen ifølge (5.27) givet ved<br />
A ′ = (0, g) = (0, gx, gy, gz), (5.30)<br />
hvor g = (gx, gy, gz) er partiklens egen-acceleration. Idet partiklen jo er i hvile i S ′ , har<br />
<strong>den</strong> i S hastighe<strong>den</strong> u = (v,0,0), og i dette system gælder da sammenhængen<br />
ax = 1<br />
<br />
A1<br />
γ γ −vdγ<br />
<br />
=<br />
dt<br />
1<br />
γ2 [A1 −βA0], (5.31)<br />
som f˚as ved benyttelse af første-komponenten af udtrykket (5.26) for 4-accelerationen.<br />
Her har vi undervejs benyttet, at dγ/dt = A0/γc, som følger umiddelbart af nultekomponenten<br />
af samme udtryk. Vi reducerer nu ovenst˚aende udtryk ved at benytte<br />
Lorentz-transformationen ifølge hvilken A ′ 1 = γ(A1 − βA0) og finder endelig ved sammenligning<br />
med (5.30) resultatet<br />
ax = gx<br />
γ3. (5.32)<br />
Ved i (5.26) at indsætte uy = uz = 0 finder vi <strong>til</strong>svarende<br />
ay = gy<br />
γ 2, og az = gz<br />
γ 2.<br />
(5.33)<br />
Vi har hermed bestemt accelerationens transformationsegenskaber mellem det øjeblikkelige<br />
hvilesystem og laboratoriesystemet. Vi bemærker, at accelerationen i modsætning<br />
<strong>til</strong> i det klassiske <strong>til</strong>fælde ikke er invariant over for en transformation mellem to inertialsystemer.<br />
Vi bemærker ligeledes, at partiklens acceleration i laboratoriesystemet g˚ar<br />
mod nul, n˚ar <strong>den</strong>s hastighed nærmer sig c. Dette sikrer selvfølgelig at partiklen ikke kan<br />
accelereres forbi lyshastighe<strong>den</strong>.<br />
85
Change language