Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5 Rumtiden og fire-vektorer
Gennemregnede eksempler til Kapitel 5
5.1 Inertialsystemet S ′ bevæger sig p˚a sædvanlig vis med hastigheden v = 3
5 c i forhold
til inertialsystemet S. I S ′ er givet fire 4-vektorer: A ′ = (1,0,0,0), B ′ = (1,1,0,0),
C ′ = (1,−1,0,0) og D ′ = (1,0,1,0). Udregn de tilsvarende 4-vektorer A, B, C og
D i S.
Vi benytter den inverse Lorentz-transformation, som p˚a matrice-form har formen
Idet β = v/c = 3
5
⎡
⎢
⎣
A0
A1
A2
A3
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
og dermed γ = 5
4
⎡ ⎤
γ
⎢ γβ ⎥
A = ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
5
4
3
4
0
⎡ ⎤
γ(1−β)
⎢ −γ(1−β) ⎥
C = ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ =
⎡
⎢
⎣
Opgaver til Kapitel 5
86
0
γ γβ 0 0
γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣
A ′ 0
A ′ 1
A ′ 2
A ′ 3
f˚as da ved indsættelse
0
⎤
⎥
⎦ .
⎤ ⎡ ⎤
γ(1+β)
⎥
⎥;
⎦
⎢ γ(1+β) ⎥
B = ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ =
⎡ ⎤
2
⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ ;
1
2
− 1
2
0
0
⎤ ⎡ ⎤
γ
⎥
⎥;
⎦
⎢ γβ ⎥
D = ⎢ ⎥
⎣ 1 ⎦ =
⎡
⎢
⎣
5.1 Tre begivenheder P1, P2 og P3 har i et inertialsystem rumtids-koordinater (ct, x)
medværdierne(2, 1),(7, 4)og(5, 6).Fastlægvedatbetragtederelevanterumtidsintervaller
hvilke par af begivenheder, der kan have˚arsagssammenhæng.
5.2 To begivenheder P1 og P2 har i et inertialsystem S rumtids-koordinater (ct, x)
med værdierne (0, 0) og (1, 2). Find hastighederne af systemer, som bevæger sig
p˚a sædvanlig vis i forhold til S, s˚aledes at: a) de to begivenheder er samtidige;
og b) P2 forekommer tiden 1/c før P1. [Bemærk: Idet vi her regner rumlige koordinater
dimensionsløse, f˚ar tiden dimension af hastighed −1 . Hvis dette volder
vanskeligheder, indsæt da selv længdeenheder (f.eks. meter) for koordinaterne.]
5.3 Fem 4-vektorer er givet ved A = (5,4,3,0), B = (5,5,0,0), C = (1,1,0,0), D =
(5,3,2,0) og E = (1,3,2,0).
a) Beregn kvadratet p˚a 4-vektorene og angiv hvilke 4-vektorer der er henholdsvis
tidsagtige, rumagtige, og lysagtige.
0
0
5
4
3
4
1
0
⎤
⎥
⎦ .