Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6.7 Tyngdepunktssystemet og den invariante masse
Indsætter vi nu de tre 4-impulser i udtrykket ovenfor, finder vi
E ˜ E
c 2 (1−cosθ) = Em− ˜ Em,
som efter omskrivning giver det eftersøgte resultat for fotonenergien
˜E =
E
.
E
mc2(1−cosθ)+1 6.7 Tyngdepunktssystemet og den invariante masse
For mange anvendelser er det nyttigt at betragte problemet fra et inertialsystem, hvori
den totale impuls er nul. Et s˚adan system eksisterer for ethvert partikelsystem. I analogi
med den klassiske mekanik kalder man dette system for tyngdepunktssystemet, selvom
detteegentligerenlidtmisvisendebetegnelse.Enbedrebetegnelsevilleværenul-impulssystemet.
Lad os betragte et vilk˚arligt inertialsystem S og i dette et system af partikler, der
lejlighedsvist vekselvirker via sammenstød men ellers er frie. Partiklerne bevæger sig
da jævnt mellem sammenstødene. Vi definerer nu systemets totale energi, totale impuls
og totale 4-impuls som den øjeblikkelige sum over de tilsvarende størrelser for hver af
partiklerne, alts˚a
E =
Ei, p =
p i, P =
Pi =
(Ei/c,p i) = (E/c,p). (6.23)
i
i
P˚a grund af bevarelseslovene er enhver af disse størrelser konstant i tiden.
Idet P er en sum af 4-vektorer, synes det˚abenbart af den selv m˚a være en 4-vektor.
Helt s˚a simpelt er det imidlertid ikke. Havde enhver iagttager været enig om hvilke Pi’er,
der indgik i summen Pi, s˚a ville P klart være en 4-vektor. Men summen udregnes
jo til et bestemt tidspunkt i hvert system, og det kan dermed være forskellige Pi’er
der udgør summen i de forskellige systemer. Imidlertid gælder der jo 4-impulsbevarelse
ved hvert eneste sammenstød mellem to partikler, og i hvert system kunne man s˚aledes
udregne sin sum over præcis de samme Pi’er som i S, og f˚a det samme resultat som for
den øjeblikkelige sum S˚a P er alts˚a virkelig en 4-vektor.
I almindelighed indeholder partikelsystemet b˚ade masseløse partikler og partikler med
endelig masse. Tilsvarende indeholder summen Pi b˚ade lysagtige (m = 0) og tidsagtige
(m > 0) 4-vektorer, som alle peger mod fremtiden. Man indser da let (f.eks. gennem
geometriske argumenter), at P vil være tidsagtig og pege mod fremtiden. Eneste undtagelse
herfra er tilfældet, hvor systemet best˚ar af udelukkende masseløse partikler, der
alle bevæger sig parallelt. I almindelighed findes der da et system, hvori de rumlige komponenter
af P er nul, alts˚a p = p i = 0. Dette system er tyngdepunktssystemet, og
heri er systemets 4-impuls
PCM = (Mc,0), (6.24)
i
i
101