Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6.7 Tyngdepunktssystemet og den invariante masse
de kolliderende partikler eller af en anden type. I enhver partikelproduktion m˚a ikke
alene 4-impulsen være bevaret, men ogs˚a den totale elektriske ladning samt en del andre
s˚akaldte kvantetal, som kendes fra partikelfysikken.
Vi betragter nu produktion af et proton-antiproton-par gennem reaktionen
p+p → p+p+(p+ ¯p), (6.27)
hvor ¯p angiver antiprotonen. Vi antager, at den ene proton i begyndelsestilstanden er i
hvile i laboratoriet, og ønsker at vide, hvor stor en energi den anden proton mindst skal
have for at processen kan foreg˚a. Denne energi benævnes tærskelenergien for processen.
Ifølge 4-impulsbevarelsen gælder der
P1 +P2 = Pf
(6.28)
hvor P1 og P2 er 4-impulserne af henholdsvis den hvilende og den indkommende proton
i begyndelsestilstanden, mens Pf er den totale impuls af sluttilstanden. Ved at kvadrere
finder vi
(P1 +P2)·(P1 +P2) = Pf ·Pf.
Her er højresiden Pf · Pf = P 2 f forbundet med sluttilstandens invariante masse gennem
relationen P 2 f = M2 f c2 . Ved tærskelenergien – alts˚a den mindste energi hvorved
processen kan foreg˚a – vil alle partikler i sluttilstanden have den kinetiske energi nul
i tyngdepunktssystemet. De fire partikler vil alts˚a ligge i hvile i forhold til hinanden.
Systemets invariante masse vil da være 4M, hvor M er protonmassen. Vi udregner nu
venstresiden og finder
P 2 1 +P 2 2 +2P1 ·P2 = 16M 2 c 2 . (6.29)
De invariante normer P 2 1 og P2 2
for de to protoner er
P 2 1 = P 2 2 = M 2 c 2 ,
som vi indsætter i (6.29), hvorefter vi finder
P1 ·P2 = 7M 2 c 2 . (6.30)
Vi definerer nu 4-impulserne til de to protoner i begyndelsestilstanden, idet vi antager
at den indkommende proton (2) har 3-impulsen p,
Vi finder s˚aledes
P1 = (Mc, 0),
P2 = (E/c, p).
P1 ·P2 = EM (6.31)
hvoraf vi ved sammenligning med (6.30) endelig finder det søgte resultat
E = 7Mc 2
(6.32)
105