Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

y
θ
u
ux
3.5 Transformation af hastigheder
Figur 3.5: En partikels bevægelse danner i S vinklen θ med x-aksen. Den tilsvarende
vinkel i S ′ findes umiddelbart ved anvendelse af transformationsligningerne
for hastigheder.
3.5.3 Transformation af γ-funktionen
Ved benyttelse af sammenhængen c 2 − u 2 = c 2 /γ 2 (u), som følger direkte af udtrykket
(2.12) for γ-funktionen, og tilsvarende for u ′ og v kan vi introducere de tre γ-funktioner
i (3.16). Ved herefter at uddrage kvadratroden finder vi følgende nyttige sammenhæng,
som angiver hvordan γ-funktionen for en partikel i bevægelse transformerer fra et iner-
tialsystem til et andet:
uy
γ(u) = γ(v)γ(u ′
) 1+ u′ xv
c2
. (3.17)
Som ved tidligere lejligheder finder vi den omvendte transformation ved at erstatte v
med −v, alts˚a
γ(u ′
) = γ(v)γ(u) 1− uxv
c2
(3.18)
Bemærk, at vi for ovennævnte sammenhænge implicit har begrænset os til hastigheder
mindre end lysets, da γ-funktionen ellers ikke er defineret.
3.5.4 Eksempel: Retningen af en bevægelse
Vi vil her finde sammenhængen mellem de vinkler θ og θ ′ , som en hastighedsvektor
danner med x- og x ′ -aksen, n˚ar disse vinkler bedømmes fra to inertialsystemer, S og S ′ .
Lad, som p˚a Figur 3.5, bevægelsen foreg˚a i xy-planet, og derfor ogs˚a i x ′ y ′ -planet. Vi
benytter da (3.10), hvor vi sætter u ′ z = uz = 0. Vinklerne θ og θ ′ er da givet ved
cotθ = ux
uy
, og cotθ ′ = u′ x
u ′ .
y
Forholdet u ′ x/u ′ y findes ved at dividere den første ligning i (3.10) med den anden, alts˚a
cotθ ′
= γcotθ 1− v
. (3.19)
ucosθ
x
53