Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5 Rumtiden og fire-vektorer
Vi har i de foreg˚aende kapitler set, hvorledes opfattelsen af tiden i den specielle relativitetsteori
er nøje p˚avirket af den relative bevægelse af iagttageren og det iagttagne
fænomen. Hvor tidspunktet for en begivenhed ifølge Galilei-transformationen er en absolut
størrelse, sker der ved Lorentz-transformationen en sammenblanding af tidspunktet
for begivenheden og begivenhedens rumlige koordinater. Denne sammenhæng mellem
rum og tid leder naturligt til opfattelsen af tiden som en fjerde dimension. Ifølge denne
beskrivelse, som introduceredes af matematikeren Minkowski allerede i 1907, udfolder
historien sig i et 4-dimensionalt (statisk) kontinuum, som er kendt under betegnelsen
rumtiden eller Minkowski-rummet. Vi har allerede indført rumtiden som begreb i Kapitel
2 og skal nu fuldføre diskussionen.
5.1 Rumtiden
Et punkt i rumtiden er karakteriseret ved et sæt af fire tal (t,x,y,z), af hvilke det første
definerer et tidspunkt t, mens de øvrige tre definerer et punkt (x,y,z) i det sædvanlige
3-dimensionale rum. Talsættet (t,x,y,z) henleder s˚aledes vor opmærksomhed p˚a, hvad
der sker til tiden t i punktet (x,y,z), og definerer, hvad vi allerede tidligere har kaldt
en begivenhed. En s˚adan beskrivelse kunne man lige s˚a vel have indført i den klassiske
mekanik, men den ville her ikke lede til nogen ny fysisk indsigt. Det nye i den specielle
relativitetsteori er eksistensen af den invariante 4-dimensionale differentialform
ds 2 ≡ c 2 dt 2 −dx 2 −dy 2 −dz 2 . (5.1)
At ds 2 virkelig er invariant, og alts˚a har samme værdi i ethvert inertialsystem, har vi
vist i (2.20). Bortset fra den særprægede sammenblanding af plus- og minustegn minder
ds 2 om størrelsen
dr 2 = dx 2 +dy 2 +dz 2 , (5.2)
som fuldstændigt karakteriserer geometrien af det sædvanlige 3-dimensionale rum som
værende Euklidisk. P˚a samme m˚ade som dr 2 er invariant under enhver rotation i det
3-dimensionale rum, er ds 2 alts˚a invariant under enhver Lorentz-transformation. Og p˚a
samme m˚ade, som invariansen af dr 2 bestemmer geometrien af det 3-dimensionale rum,
bestemmer invariansen af ds 2 geometrien af rumtiden.
73