Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

interval
kausal fremtid
kausal fortid
kausal nutid
5 Rumtiden og fire-vektorer
i rumtiden, eller snarere af den tilsvarende endelige version
∆s 2 ≡ c 2 ∆t 2 −∆x 2 −∆y 2 −∆z 2 = ∆t 2
c 2 − ∆r2
∆t2
, (5.5)
hvor ∆-ledene henviser til to begivenheder P og Q, som ikke nødvendigvis er naboer.
Betydningen af ∆s 2 afhænger af dets fortegn, hvorfor vi har følgende tre tilfælde:
i) Det simpleste tilfælde er ∆s 2 = 0, hvor P og Q jo netop kan forbindes med et
lyssignal;
ii) I det tilfælde, hvor ∆s 2 > 0, er ∆r 2 /∆t 2 < c 2 i ethvert inertialsystem. En fysisk
partikel, og s˚aledes ogs˚a et ur, kan dermed bevæges med jævn hastighed fra P til
Q, eller omvendt. I urets hvilesystem S ′ forekommer P og Q i samme punkt, s˚aledes
at ∆s 2 = c 2 ∆t ′2 . Alts˚a er intervallet ∆s = |∆s 2 | mellem P og Q i dette tilfælde
c gange den forløbne tid (egentiden) p˚a uret, som bevæger sig jævnt og retliniet
mellem de to begivenheder.
iii) I det sidste tilfælde, hvor ∆s 2 < 0, er ∆r 2 /∆t 2 > c 2 i ethvert inertialsystem. Dette
er situationen, der karakteriserer overlyshastigheder. Som det fremg˚ar af diskussionen,
der følger (2.24) og (2.26), vil der derfor gives et inertialsystem S ′ , hvor de to
begivenheder sker til samme tidspunkt. I dette system er ∆s 2 = −∆r ′2 . Intervallet
∆s er s˚aledes den rumlige afstand mellem de to begivenheder i det system, hvori de
er samtidige. Af (5.5) ser vi, at dette ogs˚a er den korteste rumlige afstand, der kan
tilskrives de to begivenheder i noget inertialsystem.
Af den ovenst˚aende diskussion ser vi, at lyskeglen tilhørende enhver begivenhed P
bevirker en meget vigtig, kausal opdeling af samtlige begivenheder i rumtiden i forhold
til P (Figur 5.3). Alle begivenheder p˚a eller inden for den fremtidige lyskegle (dvs.
lyskeglens øvre halvdel) kan p˚avirkes af P, idet de nemlig kan n˚as med hastigheder
u ≤ c, og derfor kan modtage signaler fra P. Endvidere vil begivenhederne i dette
omr˚ade, som vi har set i Afsnit 2.8, foreg˚a senere end P for enhver iagttager. Disse
begivenheder siges dermed at udgøre P’s absolutte (eller kausale) fremtid. Tilsvarende
argumenter kan benyttes for begivenhederne p˚a eller inden for P’s fortidige lyskegle: de
foreg˚ar tidligere end P for enhver iagttager og kan p˚avirke P gennem signaler. De udgør
dermed P’s absolutte (eller kausale) fortid. For begge disse to klasser af begivenheder,
der er kausalt forbundne med P, gælder ∆s 2 ≥ 0. Ingen begivenhed i omr˚adet uden for
lyskeglen, hvor alts˚a ∆s 2 < 0, kan p˚avirke P eller blive p˚avirket af P, da dette ville
kræve udveksling af signaler med overlyshastighed. Som vi har set, findes der for enhver
begivenhed i dette omr˚ade et inertialsystem, s˚aledes at begivenheden heri er samtidig
med P. Omr˚adet omtales derfor tiltider som den kausale nutid.
5.4 Tre-vektorer
P˚a samme m˚ade som sædvanlige 3-dimensionale vektorer er defineret i rummet, kan
4-dimensionale vektorer defineres i rumtiden. De to typer af vektorer betegnes da hen-
76