Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5 Rumti<strong>den</strong> og fire-vektorer<br />
Kvadratet p˚a ds er <strong>den</strong> invariante skalar<br />
ds 2 = c 2 dt 2 −dx 2 −dy 2 −dz 2 . (5.16)<br />
Idet ogs˚a c2 er en invariant, kan vi danne en tredje invariant ved at tage forholdet mellem<br />
de to<br />
dτ 2 ≡ ds2<br />
<br />
= dt2 1−<br />
c2 dx2 +dy2 +dz2 c2dt2 <br />
. (5.17)<br />
I partiklens øjeblikkelige hvilesystem S ′ (alts˚a systemet, som i tidsrummet dt følger med<br />
partiklen, s˚aledes at dx ′ = dy ′ = dz ′ = 0) reducerer (5.17) <strong>til</strong> dτ 2 = dt ′2 . Størrelsen dτ<br />
er derfor i<strong>den</strong>tisk med <strong>den</strong> i Afsnit 3.2 definerede egentid.<br />
Af (5.17) f˚ar vi nu<br />
dτ2 u2<br />
= 1−<br />
dt2 c2, hvor u er partiklens øjeblikkelige hastighed i S. Heraf følger sammenhængen<br />
dt<br />
dτ =<br />
1<br />
1−u 2 /c 2<br />
= γ(u). (5.18)<br />
Vi har hermed direkte eftervist udtrykket for tidsforlængelsen p˚a differentiel form, som<br />
vi benyttede allerede i (3.4).<br />
5.8 Fire-hastighe<strong>den</strong><br />
Vi ønsker nu at konstruere en 4-vektor, der p˚a <strong>til</strong>svarende m˚ade, som vi kender det fra<br />
det sædvanlige rum, angiver en hastighed. Lad os endnu engang bemærke, at vi ikke kan<br />
danne en 4-vektor blot ved at <strong>til</strong>føje en nulte-komponent <strong>til</strong> <strong>den</strong> sædvanlige hastighed<br />
u =<br />
dx<br />
dt<br />
<br />
dy dz<br />
, , . (5.19)<br />
dt dt<br />
Herer(x,y,z)detrerumligekomponenterafen4-vektor.Mendatikkeernogen4-skalar,<br />
fremkommer der ikke komponenter af nogen 4-vektor, n˚ar vi differentierer med hensyn <strong>til</strong><br />
t. Dette kan man iøvrigt ogs˚a se direkte af transformationsligningerne (3.10) for hastighedskomponenterne,<br />
idet disse ligninger ikke er i<strong>den</strong>tiske med Lorentz-transformationen<br />
(5.11).<br />
Imidlertid kan vi danne en 4-vektor, hvis rumlige komponenter minder om <strong>den</strong> sædvanlige<br />
hastighed, ved i (5.19) at erstatte differentiationen med hensyn <strong>til</strong> t med differentiation<br />
med hensyn <strong>til</strong> <strong>den</strong> invariante egentid τ. Vi definerer derfor partiklens 4-hastighed<br />
U som <strong>den</strong> afledede af 4-sted-vektoren X = (ct,x,y,z) med hensyn <strong>til</strong> egenti<strong>den</strong> τ<br />
82<br />
U ≡ dX<br />
dτ =<br />
<br />
c dt<br />
dτ<br />
, dx<br />
dτ<br />
<br />
dy dz<br />
, , . (5.20)<br />
dτ dτ