Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

Opgaver til Kapitel 3
3.10 En stang med hvilelængden l0 bevæger sig i sin længderetning med hastigheden u
gennem laboratoriet. En partikel bevæger sig langs samme linie i modsat retning
med samme fart. Hvor lang tid tager det p˚a laboratorieuret for partiklen at passere
stangen.
3.11 En stang bevæger sig langs x-aksen i S med hastigheden u. Set fra S har den
længden L. Hvad er stangens længde L ′ i det sædvanlige system S ′ ?
3.12 I systemet S ligger partiklen A i hvile, mens partiklen B bevæger sig med hastigheden
u. Vi betragter nu et system S ′ , som bevæger sig med hastigheden v i
forhold til S. Find værdien af v s˚aledes, at partiklerne i S ′ bevæger sig med lige
store og modsatrettede hastigheder i tilfælde af (a) Galilei-transformationen; og
(b) Lorentz-transformationen.
3.13 En radioaktiv atomkerne bevæger sig med med konstant hastighed 0.240c gennem
laboratoriet. Atomkernen henfalder ved udsendelse af en elektron.
a) Antag først, at elektronen har hastigheden 0.780c m˚alt i kernens hvilesystem.
Find elektronens hastighed (størrelse og retning) i laboratoriesystemet i følgende
tilfælde:
i) Elektronen udsendes i kernens bevægelsesretning;
ii) Elektronen udsendes vinkelret p˚a kernens bevægelsesretning set fra kernens
hvilesystem;
b) Antag dernæst at elektronen i laboratoriesystemet udsendes vinkelret p˚a kernens
bevægelsesretning med hastigheden 0.780c. Hvad er i dette tilfælde elektronens
hastighed (størrelse og retning) i kernens hvilesystem?
3.14 En lyskilde i hvile i S ′ udsender et lysglimt med vinklen θ ′ relativ til x ′ -aksen.
Systemet S ′ bevæger sig p˚a sædvanlig vis med hastigheden v i forhold til laboratoriesystemet
S. Vis, at lysglimtet i S danner vinklen θ med x-aksen, hvor
cosθ = ccosθ′ +v
c+vcosθ ′.
Antag derefter, at kilden kan bringes til at udsende lys isotropt i sit eget referencesystem.
Vis, at den halvdel af lyset, som udsendes i den fremadrettede hemisfære,
er koncentreret i en kegle med halvvinkel θ = cos −1 (v/c) i S. Vis dernæst, at denne
vinkel, for hastigheder tæt p˚a c, kan approksimeres med γ −1 .
[Til sidste spørgsm˚al kan man eventuelt drage nytte af sammenhængen cos 2 x +
sin 2 x = 1, og dernæst approksimationen sinx ≃ x for x ≪ 1.]
3.15 a) To partikler nærmer sig hinanden begge med farten u langs x-aksen. Bestem
hastigheden, w, af den ene set fra den andens hvilesystem. For u/c ≪ 1 kan
man benytte tilnærmelsen w ≃ u(a+bu 2 /c 2 +···). Bestem a og b.
57