Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6 Relativistisk mekanik
6.10.1 Transformationsregler for kraften
Med udgangspunkt i udtrykket for 4-kraften (6.41) og transformationsreglerne (5.11)
for 4-vektorer kan vi finde transformationsreglerne for 3-kraften. Vi vil imidlertid her
nøjes med at betragte det tilfælde, hvor vi kender kraften i partiklens øjeblikkelige
hvilesystemet og ønsker at finde den transformerede kraft i et andet system.
Vi lader systemet S ′ være partiklens øjeblikkelige hvilesystem, som antages at bevæge
sig p˚a sædvanlig m˚ade i forhold til systemet S. Idet partiklen i S ′ har den øjeblikkelige
hastighed u ′ = 0, er 4-kraften i dette system ifølge (6.41) givet ved
Φ ′ = (0, F ′ x, F ′ y, F ′ z). (6.43)
Af Lorentz-transformationen (5.11) finder vi heraf 4-kraftens rumlige komponenter i S
Φ1 = γ(v)F ′ x, Φ2 = F ′ y, Φ3 = F ′ z. (6.44)
Imidlertid kan vi finde de samme komponenter ved at benytte definitionen (6.41), idet
partiklen jo i S har hastigheden v,
Φ1 = γ(v)Fx, Φ2 = γ(v)Fy, Φ3 = γ(v)Fz. (6.45)
Ved at sammenholde (6.44) og (6.45) f˚as nu
Fx = F ′ x, Fy = F ′ y/γ, Fz = F ′ z/γ, (6.46)
hvorved vi har bestemt de ønskede transformationsegenskaber. Specielt ser vi alts˚a, at
kraftkomponenten i bevægelsesretningen, Fx, er den samme i laboratoriesystemet som i
partiklens øjeblikkelige hvilesystem.
6.11 Den relativistiske bevægelsesligning
Vi vil nu betragte det tilfælde, hvor en forskrift foreligger for, hvordan den relativistiske
3-kraft p˚a en partikel afhænger af omgivelsernes fysiske tilstand. Ligningen (6.37) f˚ar
hermed et fysisk indhold og udgør da den relativistiske bevægelsesligning.
Af (6.37) finder vi ved at gennemføre differentiationen
F = γm du
dt +mudγ
dt
= γmdu
dt + F ·u
u, (6.47)
c2 hvor vi i sidste lighed har benyttet (6.40) med E = γmc 2 . Vi ser heraf, at accelerationen
a = du/dt vil ligge i planet udspændt af F og u, men at den i almindelighed ikke vil
være ensrettet med F. Hvis vi undtager det tilfælde hvor u = 0, vil F og a kun være
ensrettede, n˚ar det sidste led i (6.47) er proportional med F, og dette sker kun n˚ar F og
u er enten ortogonale eller parallelle. Vi vil nu betragte eksempler p˚a disse to tilfælde.
110