Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

En masseløs partikel vil dermed ifølge (6.13) have 4-impulsen
6.6 Masseløse partikler
P = E/c(1,n), (6.21)
hvor n er enhedsvektoren, der beskriver partiklens bevægelsesretning i rummet. Idet 4impulsen
alts˚a er lysagtig (og dermed ifølge (6.1) og (5.20) enhver forskydningsvektor p˚a
partiklens bane har samme egenskab) følger det, at enhver masseløse partikel bevæger
sig med lyshastigheden. Dette kan ogs˚a indses ved anvendelse at (6.14).
Resultatet (6.20) kunne for en overfladisk betragtning synes at være i modstrid med
definitionen (6.4) af den relativistiske impuls, p ≡ γ(u)mu, da man ved at sætte m = 0
i dette udtryk, synes at opn˚a, at masseløse partikler vil have impulsen nul. Dette er
imidlertid en fejlslutning, idet jo γ(u) netop giver en uendelig værdi for u = c. Det kan
tværtimod vises, at resultatet (6.20) er konsistent med impulsdefinitionen (6.4).
Øvelse 6.1 Betragt en partikel med den konstante energi E og massen m. Benyt udtrykket
(6.10) for partiklens energi til med udgangspunkt i impulsdefinitionen(6.4) at opskrive
et udtryk for impulsens størrelse, som alene afhænger af E og m og naturkonstanten c.
Foretag nu grænseovergangen m → 0 og kontroller at resultatet er i overensstemmelse
med (6.20).
6.6.1 Doppler-effekten fra transformationen af fotonens 4-impuls
Vi kan nu demonstrere, hvorledes udtrykket (4.5) for den relativistiske Doppler-effekt
følger direkteaf transformationsegenskabernefor fotonens 4-impuls.Til dettebrughar vi
brug for et resultat fra kvantemekanikken, som siger, at en fotons energi er proportional
med dens frekvens,
E = hν, (6.22)
hvor proportionalitetskonstanten h er Plancks konstant.
Lad os betragte en foton, der bevæger sig langs x-aksen i systemet S med energien E.
Den har da 4-impulsen
P = E/c(1,1,0,0).
Fotonens 4-impuls i S ′ kan nu bestemmes ved hjælp af Lorentz-transformationen (5.11).
Her er vi imidlertid kun interesserede i energien, hvorfor vi nøjes med at beregne nulte-
komponenten, alts˚a
E ′ = γ(E −βE) = E
1−β
1+β .
Idet vi benytter proportionaliteten (6.22) af E og ν, f˚as da umiddelbart relationen
ν ′
ν =
1−β
1+β ,
i overensstemmelse med (4.5).
P˚a tilsvarende vis kan ogs˚a transformationsegenskaberne for retningen af en fotons
bevægelse og dermed udtrykket (4.17) for lysets aberration bestemmes.
99