Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2 Lorentz-transformationen
Dette ligningssæt kan uden videre løses med hensyn til variablerne x, y, z, t, hvorved vi
finder den omvendte transformation:
x = γ(x ′ +vt ′ ),
y = y ′ ,
z = z ′ ,
t = γ(t ′ +vx ′ /c 2 ).
(2.14)
Dissetransformationsligningersvarertil,atSiforholdtilS ′ bevægersigmedhastigheden
−v efter x ′ -aksen.
Lad os her kommentere p˚a følgende tre egenskaber ved Lorentz-transformationen:
i) Relativiteten af samtidighed: Det mest sl˚aende nye træk ved Lorentz-transformationen
er reglen for tidstransformation, som udtrykker at samtidighed er et relativt
begreb: begivenheder med samme t tilsvarer i almindelighed ikke begivenheder med
samme t ′ .
ii) Symmetri i x og ct: Ligningerne (2.13) og (2.14) er symmetriske ikke alene i y og
z, men ogs˚a i x og ct. Dette verificeres let ved at gange den sidste ligning igennem
med c.
iii) Den Newtonske grænse: Ved rækkeudvikling 2 af γ-funktionen i størrelsen v 2 /c 2 f˚as
γ(v) = 1+ 1
2
v2 +... (2.15)
c2 For sm˚a hastigheder, v/c ≪ 1, er alts˚a γ ≃ 1, hvorfor Lorentz-transformationen
reducerer til Galilei-transformationen (1.4), som vi m˚a kræve. Samme konklusion
n˚as selvfølgelig, hvis vi formelt lader c → ∞.
2.6 Lorentz-transformationen p˚a differens- og differential-form
Lad os betragte to begivenheder P1 og P2, som i inertialsystemet S har de respektive
koordinater (x1,y1,z1,t1) og (x2,y2,z2,t2). Svarende hertil har vi de fire koordinatdifferencer
∆x = x2 −x1, ∆y = y2 −y1, ∆z = z2 −z1, ∆t = t2 −t1.
Vi søger nu at finde de tilsvarende størrelser i inertialsystemet S ′ , som bevæger sig i
forhold til S p˚a vanlig m˚ade. Vi begynder med x-koordinaten og finder ved anvendelse
af Lorentz-transformationen (2.13)
∆x ′ = x ′ 2 −x ′ 1 = γ(x2 −vt2)−γ(x1 −vt1) = γ[(x2 −x1)−v(t2 −t1)] = γ(∆x−v∆t).
2 Se Appendiks B
28