Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5.5 Fire-vektorer
a ogb er to vektorer, s˚a er ogs˚aa+b en vektor, og dens længde m˚a derfor være invariant.
Vi finder
|a+b| 2 = (a1 +b1) 2 +(a2 +b2) 2 +(a3 +b3) 2
= a 2 +b 2 +2(a1b1 +a2b2 +a3b3),
og idet a 2 og b 2 er invariante, følger hermed ogs˚a invariansen af skalarproduktet
5.5 Fire-vektorer
a·b = a1b1 +a2b2 +a3b3. (5.10)
4-vektorer er defineret i den 4-dimensionale rumtid. I dette afsnit udvikler vi regne- Definition af
4-vektor
reglerne for 4-vektorer i tæt analogi med diskussionen i forrige afsnit af 3-vektorer.
Prototypen p˚a en 4-vektor A = (A0,A1,A2,A3) er forskydningsvektoren ∆X = (c∆t,
∆x,∆y,∆z), som forbinder to begivenheder i rumtiden. En 4-vektor defineres da ved,
at den transformerer p˚a samme m˚ade som ∆X. Bemærk, at vi har valgt ct frem for t
for nulte-komponenten, og at alle komponenter derved har enheden længde. Af˚abenlyse
˚arsager refererer man ofte til en 4-vektors nulte-komponent som den tidslige og de tre
øvrige komponenter som de rumlige.
Enhver 4-vektor kan alts˚a repræsenteres ved et retningsbestemt linie-segment i rumtiden.
De tilladte koordinatsystemer udgøres af samtlige inertialsystemer, og de relevante
transformationer udgøres dermed af alle transformationer, der sammenknytter ét inertialsystem
med et andet. Dette er de generaliserede Lorentz-transformationer, som er
sammensat af (i) tidslige og rumlige translationer, (ii) rotationer omkring begyndelsespunktet
og (iii) standard-Lorentz-transformationer, alts˚a Lorentz-transformationer af
typen (2.13), hvor de to systemer er i standardkonfigurationen. Disse transformationer
giver anledning til en 4-dimensional analog til (5.6) for ethvert par af inertialsystemer,
med 16 konstante α’er i stedet for ni. Under b˚ade rumlige og tidslige translationer er
komponenterne af ∆X (og dermed af enhver 4-vektor) uforandrede. Under rumlige rotationer
omkring begyndelsespunktet transformerer de tre rumlige komponenter af ∆X
(og dermed af enhver 4-vektor) som en 3-vektor, mens den tidslige komponent er uforandret.
Under standard-Lorentz-transformationer transformerer komponenterne af enhver
4-vektor, A, p˚a samme m˚ade som prototypen (c∆t,∆x,∆y,∆z), og ved anvendelse
af (2.16) f˚as dermed
A ′ 0 = γ(A0 −βA1),
A ′ 1 = γ(A1 −βA0),
A ′ 2 = A2,
A ′ 3 = A3,
(5.11)
79