Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

3 Relativistisk kinematik
3.4 Tvillingeparadokset
Ingen fremstilling af relativitetsteorien ville være komplet uden at nævne det notoriske
ur- eller tvillingeparadoks. “Paradokset”, som tager sigte p˚a at tilbagevise tidsforlængelsen
som et ægte fysisk fænomen, udspringer af situationen, vi diskuterede ovenfor,
hvor et ur, der transporteres fra A til B og tilbage igen, viser en mindre tid ved tilbagekomsten
end et ur i konstant hvile ved A. Ofte prydes historien ved, at urene erstattes
med to tvillinger, hvoraf den rejsende er yngre end den tilbageblevne ved genforeningen.
Paradokset fremkommer ved at hævde, at al bevægelse er relativ, og at den rejsende dermed
med lige s˚a stor ret kan hævde, at det var den tilbageblevne, der blev accelereret,
bevægede sig væk og kom tilbage igen, og at derfor denne, og ikke ham selv, skulle være
den yngste ved genforeningen. Modstriden tyder p˚a en fejl i ræsonnementet, og det er
da heller ikke vanskeligt at se, hvor tankegangen er forkert. Sagen er, at hvor hastighed
virkelig er et relativt begreb, s˚a er acceleration det ikke. Acceleration kan m˚ales absolut.
De to tvillinger er alts˚a ikke ligeberettigede: Tvillingen i hvile ved A befinder sig stedse
i et inertialsystem; tvillingen, der rejser fra A til B og tilbage, befinder sig kun i et
inertialsystem i den jævne del af bevægelsen.
Eksempel 3.5 Tvillingeparadokset: En returrejse til Alpha Centauri
Jordensnærmestenabo-stjerne,AlphaCentauri,ligger4lys˚arfraJorden.Hermedmenes,
at dens afstand fra Jorden tilsvarer den vejlængde, som lyset tilbagelægger p˚a 4˚ar, alts˚a
4 × 365.25 × 24 × 60 × 60 × 300,000 km ≃ 3.8 × 1013 km. Lad os forestille os, at den
nyfødte pige Stella sendes p˚a en returrejse til Alpha Centauri med hastigheden v = 0.8 c,
mens hendes tvillingesøster Terra forbliver tilbage p˚a Jorden. Rejsens varighed set fra
Jorden er da 10 ˚ar. Ved genforeningen er s˚aledes Terra 10 ˚ar, mens Stella ifølge (3.2)
kun er 6˚ar.
Ovennævnte argumentation følger umiddelbart ved at betragte rejsen fra Jordens inertialsystem.
Lad os nu se, hvorledes Stella opfatter rejsen. Set fra rumskibet bevæger
Jorden og Alpha Centauri sig med hastigheden 0.8 c. Stella ser da afstanden mellem de
to himmellegemer forkortet fra s0 = 4 lys˚ar til s = s0 1−v 2 /c2 = 2.4 lys˚ar, hvorfor
rejsen derud varer ∆t = 3˚ar. Tænker vi os nu, at Stella kigger tilbage p˚a Terra under
rejsen, vil hun se, at Terra har alderen ∆tTerra = ∆t 1−v 2 /c 2 = 1.8˚ar, til det tidspunkt
hun selv ankommer til Alpha Centauri. Tidsrum i Jordens system forekommer jo
tidsforlængede set fra rumskibet. Idet vi imidlertid ved, at Stella returnerer til Jorden
til tiden t = 10˚ar, kunne vi argumentere p˚a præcis samme vis og finde, at Stella vil
se, at Terra har alderen (10 − 1.8) = 8.2˚ar, p˚a det tidspunkt hun selv forlader Alpha
Centauri. Men er dette ikke umuligt? Hvordan kan det g˚a til, at Stella vil se, at Terra
har alderen 1.8˚ar, n˚ar hun selv ankommer til Alpha Centauri og alderen 8.2˚ar, n˚ar hun
igen forlader Alpha Centauri? Hemmeligheden ligger i den accelererede del af rejsen,
hvor Stellas rumskib ændrer retning. Et resultat fra den generelle relativitetsteori siger,
at man, hvis man selv befinder sig i et accelereret referencesystem, vil opfatte, at tiden i
ikke-accelererede systemer g˚ar hurtigere. 1 I tidsrummet, hvor rumskibet ændrer retning,
1 Dette kan forøvrigt indses udelukkende ved brug af den specielle relativitetsteori. Som et eksempel
50