Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

Ved at benytte kædereglen for differentiation f˚as
U = c dt
dx dt dy dt dz dt
, , , ,
dτ dt dτ dt dτ dt dτ
hvoraf vi ved at indføre (5.18) finder
hvor γ ≡ γ(u). Alts˚a kan 4-hastigheden skrives p˚a formen
5.8 Fire-hastigheden
U = (γc, γux, γuy, γuz) (5.21)
U = γ(u)(c,u). (5.22)
Her, som i mange andre tilfælde, finder vi, at de rumlige komponenter af en 4-vektor
er komponenterne af en velkendt 3-vektor eller multipla af disse. Vi anvender da ofte
notationen eksemplificeret ved (5.22). Af (5.22) ses det direkte, at 4-hastighedens rumlige
komponenter for u → 0 g˚ar over i den sædvanlige hastighed u. Lad os yderligere
bemærke, at U er tidsagtig og peger mod fremtiden.
Kvadratet p˚a 4-hastigheden U 2 = U · U er som ethvert skalarprodukt en invariant.
Hvis vi derfor bestemmer kvadratet i ét inertialsystem, vil resultatet have gyldighed i
ethvert andet. Det st˚ar os dermed frit at udregne kvadratet i det system, hvori det falder
os lettest. Af udtrykket (5.22) for 4-hastigheden finder vi
U 2 = γ 2 (u)(c 2 −u 2 ), (5.23)
som alts˚a er gyldigt i ethvert system. Vælger vi nu partiklens hvilesystem, hvor u = 0,
følger umiddelbart resultatet
U 2 = c 2 . (5.24)
Vi ser, at kvadratet ikke refererer til nogen for partiklen karakteristisk størrelse: Alle
partikler har samme 4-hastighedskvadrat, uanset hvordan de bevæger sig i rum og tid.
Detervigtigtatbemærkesigargumentationen,somvibenyttedeforatkommefremtil
(5.24). Her opn˚aede vi et numerisk resultat p˚a elegant vis ved at betragte problemet fra
et hensigtsmæssigt inertialsystem. Lignende metoder benyttes igen og igen ved arbejdet
med 4-vektorer.
5.8.1 Eksempel: Hastighedstransformationerne fra 4-hastigheden
I Kapitel 4 udledte vi formler for, hvordan hastigheder transformerer mellem to inertialsystemer
i indbyrdes bevægelse. Vi vil nu vise, hvordan disse formler kan udledes direkte
fra transformationsegenskaberne for 4-hastigheden.
Hertil betragter vi en partikel, som bevæger sig med hastigheden u i systemet S. Vi
søger nu partiklens hastighed u ′ i systemet S ′ , som bevæger sig p˚a sædvanlig m˚ade med
hastighedenv iforholdtilS.Partiklens4-hastighedidetosystemerbetegneshenholdsvis
U og U ′ . Ifølge udtrykket (5.22) for 4-hastigheden har vi
U ′ = γ(u ′ )(c,u ′ x,u ′ y,u ′ z) ≡ (U ′ 0,U ′ 1,U ′ 2,U ′ 3),
83