Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

3 Relativistisk kinematik
S
S ′
v
A B
Figur 3.1: En stang med hvilelængden L0 ligger i hvile p˚a x ′ -aksen. Stangen observeres
fra S, hvor den har den forkortede længde L = L0/γ < L0.
Vi ser, at (3.1) er i formel overensstemmelsemed den forkortning,som Lorentz og Fitzgerald
oprindeligt indførte for at forklare den udeblevne effekt ved Michelson-Morleyforsøget.
Imidlertid har de to effekter en meget forskellig logisk status. Den oprindelige
Lorentz-Fitzgerald-effekt byggede p˚a en hypotese om, at en stang i bevægelse i forhold
til æteren forkortedes g˚a grund af en fysisk vekselvirkning mellem stangens materie og
æteren. Derimod forudsætter (3.1) ingen s˚adan hypotese og ingen æterteori, idet den
følger af Lorentz-transformationen og dermed er en direkte konsekvens af relativitetsprincippets
postulat om lyshastighedens invarians.
Eksempel 3.1 Volumenændring
Længdeforkortningen medfører, at ogs˚a et legemes volumen vil ændres. Har vi et legeme,
der er i hvile i S ′ og heri har et konstant volumen, vil en iagttager i S finde dets dimensioner
i x-aksens retning forkortede ifølge (3.1), mens dimensionerne i y- og z-aksens
retninger er uforandrede. Hvis rumfanget af legemet i S ′ er V0, vil der alts˚a for rumfanget
i S gælde
3.2 Tidsforlængelsen
V = V0 1−v 2 /c2 .
Vi betragter igen to inertialsystemer S og S ′ i standardkonfigurationen. Antag at to
begivenheder finder sted ved et standard-ur, som er i hvile i S ′ , og at tidsforskellen ifølge
dette ur er ∆t ′ . Vi søger nu at finde tidsforskellen, vi skal tilskrive de to begivenheder i S.
Ved at benytte den inverse af (2.16) finder vi umiddelbart, idet ∆x ′ = 0, at ∆t = γ∆t ′ ,
eller ved at erstatte ∆t og ∆t ′ med symbolerne T og T0,
T = γT0 =
x
x ′
T0
. (3.2)
1−v 2 /c2 Heraf følger helt generelt, at et ur i jævn retliniet bevægelse med hastigheden v i et
inertialsystem S g˚ar langsomt med faktoren 1−v 2 /c 2 i forhold til de synkroniserede
44