Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5.7 Egentiden
overføresumiddelbarttil forskydningsvektoren∆s ≡ ∆X. Og idet der til enhver 4-vektor
findes en forskydningsvektor med hvilken den er ensrettet, kan vi inddele alle 4-vektorer
p˚a tilsvarende vis. Vi kalder en 4-vektor A tidsagtig, hvis A 2 > 0, lysagtig, hvis A 2 = 0,
og rumagtig, hvis A 2 < 0. I det første tilfælde peger A ind i lyskeglen,idet andet tilfælde
peger den langs lyskeglen og i det tredje tilfælde peger den uden for lyskeglen. En 4vektor
med A 2 = 0 kaldes ogs˚a en nul-4-vektor. Da en 4-vektors kvadrat er invariant,
kan man ikke ved nogen Lorentz-transformation forvandle en rumagtig 4-vektor til en
tidsagtig, eller omvendt. Klassifikationen i de tre nævnte kategorier er alts˚a den samme
fra ethvert inertialsystem; den er med andre ord absolut.
Tidsagtige og lysagtige 4-vektorer har en del egenskaber til fælles, og betegnes under
et kausale vektorer. I særdeleshed er fortegnet p˚a deres nulte-komponent invariant, idet
enhver iagttager vil opleve den samme tidslige rækkefølge langs den tilsvarende forskydningsvektor.
Man kan derfor foretage en invariant opdeling af kausale vektorer, A, i dem,
der peger mod fremtiden (A0 > 0), og dem, der peger mod fortiden (A0 < 0).
For 3-vektorer ved vi, at enhver vektor a kan reduceres til formen (a,0,0) ved at
indlægge et koordinatsystem, hvis x-akse peger i vektorens retning. P˚a tilsvarende vis
kan vi for en 4-vektor A med komponenter (A0,A1,A2,A3) i systemet S eliminere A2 og
A3 vedatrotereinertialsystemetsrumligeaksers˚ax-aksenpegeriretningen(A1,A2,A3).
Den nye vektor vil da have formen (A0,B,0,0), hvor B = (A 2 1 +A2 2 +A2 3 )1/2 . Vi har nu
følgende tre tilfælde, som afhænger af den relative størrelse af |A0| og B
i) I det tilfælde, hvor B = |A0|, er A en nul-4-vektor, og formen (A0,|A0|,0,0) kan
ikke reduceres yderligere.
ii) I det tilfælde, hvor B < |A0|, er A tidsagtig. Der gives da et inertialsystem, hvor
den kan skrives p˚a formen (±A,0,0,0), hvor A er størrelsen af A, og hvor fortegnet
afhænger af, om A peger mod fremtiden eller mod fortiden.
iii) I det tilfælde, hvor B > |A0|, er A rumagtig. Der gives et da inertialsystem, hvor
den kan skrives p˚a formen (0,A,0,0), hvor A igen er størrelsen af A.
5.7 Egentiden
Idet, som anført i Afsnit 5.5, tiden t ikke er nogen 4-skalar, og derfor ikke gennem
differentiation kan anvendes til at danne hastighedslignende 4-vektorer, søger vi her et
invariant tidsm˚al. Dette tidsm˚al er egentiden, som jo ˚abenbart har samme værdi for
enhver iagttager.
Lad os betragte en partikel, som i et inertialsystem S bevæger sig s˚aledes, at den i det
differentielle tidsrum dt tilbagelægger vejen (dx,dy,dz). Bevægelsen er s˚aledes bestemt
ved det differentielle 4-interval
ds = (cdt, dx, dy, dz). (5.15)
81