Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
6 Relativistisk mekanik<br />
relativistiske bevægelsesligning, som erstatning for det klassiske, parabolske udtryk x =<br />
1<br />
2 gt2 .<br />
Vi har allerede i Afsnit 2.10.2 set hvordan en konstant egen-acceleration er sammenknyttet<br />
med en hyperbolsk bevægelse, og med resultatet fra Opgave 2.6 kunne vi via<br />
diverse omskrivninger komme frem <strong>til</strong> en løsning p˚a det aktuelle problem. Her vil vi<br />
imidlertid gennemføre udregningerne direkte.<br />
Sammenhængen mellem partiklens konstante egen-acceleration, g, og accelerationen,<br />
du/dt, i S er ifølge (5.32) givet ved<br />
g = γ 3du<br />
dt<br />
d<br />
= [uγ(u)], (6.53)<br />
dt<br />
hvor vi for sidste ligning har benyttet i<strong>den</strong>titeten d(γv) = γ 3 dv, som let eftervises. Ved<br />
integration med hensyn <strong>til</strong> t f˚as heraf<br />
gt = uγ(u) =<br />
u<br />
, (6.54)<br />
1−u 2 /c2 hvor vi har benyttet, at u = 0 <strong>til</strong> ti<strong>den</strong> t = 0. Ved isolering af u f˚as da<br />
u =<br />
gt<br />
. (6.55)<br />
1+(gt/c) 2<br />
Vi ser, at for sm˚a tider, t ≪ c/g, er u ≃ gt, som forventet i det ikke-relativistiske<strong>til</strong>fælde.<br />
Videre ser vi, som ventet, at u → c for store tider, t ≫ c/g.<br />
Ved at integrere endnu engang med hensyn <strong>til</strong> t finder vi dernæst <strong>den</strong> <strong>til</strong>bagelagte<br />
vejlæng<strong>den</strong><br />
x = c2<br />
g<br />
⎡<br />
⎣<br />
1+<br />
2 gt<br />
c<br />
⎤<br />
−1⎦,<br />
(6.56)<br />
hvor vi har benyttet grænsebetingelsen x = 0 for t = 0. Korrekthe<strong>den</strong> af dette udtryk<br />
eftervises enklest ved differentiation. For sm˚a tider, t ≪ c/g, genfinder vi ved rækkeudvikling<br />
det klassiske udtryk x = 1<br />
2 gt2 . Udtrykket (6.56) kan skrives p˚a formen<br />
eller <strong>til</strong>svarende<br />
<br />
xg<br />
2 +1 −<br />
c2 gt<br />
c<br />
2<br />
= 1, (6.57)<br />
(x+c 2 /g) 2 −(ct) 2 = (c 2 /g) 2 , (6.58)<br />
og bevægelsen ses s˚aledes at danne en hyperbel i rumtidsdiagrammet med en asymptote,<br />
givet ved lyskeglen x = ct−c 2 /g, som skitseret p˚a Figur 6.6. Bemærk, at et lyssignal, der<br />
udsendes <strong>til</strong> ti<strong>den</strong> t = c/g fra x = 0 vil følge asymptoten og dermed aldrig n˚a partiklen.<br />
Asymptoten kaldes det accelererede systems begivenheds-horisont, idet en iagttager i det<br />
accelererede system ikke vil kunne modtage information om begivenheder, der sker i<br />
x = 0 <strong>til</strong> tider t ≥ c/g.<br />
112