Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6.4 De relativistiske bevarelseslove
Den totale effekt af solens elektromagnetiske str˚aling – kaldet Solens luminositet – er
derfor
L⊙ = 4πR 2 ·1368 W/m 2 = 3.85×10 26 W,
hvor R = 1.50×10 11 m er afstanden mellem Jorden og Solen. Solens totale energitab er
lidt større, idet den elektromagnetiske str˚aling ledsages af udstr˚aling af elementarpartikler
kaldet neutrinoer, som kun vekselvirker yderst svagt med stof, og derfor ikke regnes
med i solkonstanten.
Vi m˚a nu forvente, at Solens energitab ifølge ækvivalensen mellem masse og energi er
ledsaget af et massetab bestemt ved
− ∆m
∆t > 3.85×1026 W
(3×10 8 m/s) 2 = 4.3×109 kg/s.
6.4 De relativistiske bevarelseslove
Lad os for en kort bemærkning vende tilbage til udgangspunktet for vores opbygning
af den relativistiske mekanik, nemlig antagelsen om at 4-impulsen er bevaret i ethvert
partikelsammenstød. Denne antagelse fik udtryk gennem ligningerne (6.6) og (6.7), som
vi nu forst˚ar udtrykker henholdsvis bevarelsen af partikelsystemets relativistiske impuls
og totale energi. Bemærk, at relationerne (6.6) og (6.7) er henholdsvis rumlige og tidslige
komponenter af 4-vektoren-relationen (6.5). Men idet enhver 4-vektor transformerer ved
Lorentz-transformationen (5.11), som jo sammenblander de tidslige og rumlige komponenter,
indser man let, at hvis to givne 4-vektorer har identiske tidslige komponenter
i ethvert inertialsystem, s˚a m˚a ogs˚a deres rumlige komponenter være identiske, og omvendt
1 . Det følger logisk heraf, at enhver af bevarelsessætningerne (6.6) og (6.7) hver
for sig medfører den fulde lov (6.5). Udtrykt anderledes, følger impulsbevarelsen som en
konsekvens af energibevarelsen, og omvendt.
6.5 Sammenhængen mellem energi og impuls
Mellem energien, E, og den relativistiske impuls, p, kan vi udlede en betydningsfuld
relation ved at betragte kvadratet p˚a 4-impulsens. For denne f˚ar vi ved at benytte (6.13)
P 2 = P·P = E 2 /c 2 −p 2 . (6.16)
I partiklens hvilesystem, hvor p = 0 og E = mc 2 , reducerer udtrykket til
P 2 = m 2 c 2 . (6.17)
Da P 2 imidlertid er invariant, er de to udtryk ækvivalente, s˚aledes at
E 2 = p 2 c 2 +m 2 c 4 . (6.18)
1 Situationen er parallel til det sædvanlige 3-dimensionale tilfælde: Hvis to givne vektorer har identiske
x-komponenter for enhver orientering af koordinatsystemet, s˚a m˚a de to vektorer være identiske.
97