Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

egenacceleration
5 Rumtiden og fire-vektorer
og dermed
u ′ x = c U′ 1
U ′ 0
, u ′ y = c U′ 2
U ′ 0
, u ′ z = c U′ 3
U ′ .
0
Somenhveranden4-vektor,transformerer4-hastighedenifølgeLorentz-transformationen
(5.11), s˚aledes at
U ′ 0 = γ(U0 −βU1), U ′ 1 = γ(U1 −βU0), U ′ 2 = U2, U ′ 3 = U3.
Ved at indsætte disse i udtrykkene ovenfor følger nu, at
u ′ x = c U1 −βU0
U0 −βU1
u ′ y = c
u ′ z = c
= c ux −βc
c−βux
U2
γ(U0 −βU1) =
U3
γ(U0 −βU1) =
= ux −v
1−vux/c 2,
uy
γ(1−vux/c 2 ) ,
uz
γ(1−vux/c 2 ) .
Vi ser, at de hermed udledte transformationsrelationer er identiske med relationerne
(3.10).
5.9 Fire-accelerationen
En partikels 4-acceleration A defineres ved
A ≡ d2X dU
= , (5.25)
dτ2 dτ
hvor vi igen har differentieret med hensyn til den invariante egentid τ. Ved at benytte
kædereglen for differentiation og resultatet (5.18) finder vi
A = dU
dt
dt
dτ
= γdU
dt
d
= γ (γc, γu),
dt
og hermed sammenhængen med 3-accelerationen a = du/dt
A = γ c dγ dγ
,
dt dt u+γa
. (5.26)
4-accelerations rumlige del er alts˚a i almindelighed ikke ensrettet med a.
I partiklens øjeblikkelige hvilesystem, hvor u = 0, og dermed dγ/dt = 0, reducerer
4-accelerationen til
A = (0, g). (5.27)
Vi har her indført betegnelsen g for den s˚akaldte egen-acceleration, alts˚a accelerationen
i partiklens øjeblikkelige hvilesystem. En partikels 4-acceleration er alts˚a en nul-vektor
(A2 = 0), hvis og kun hvis dens egen-acceleration er nul. I modsat fald er A rumagtig.
84