Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

4 Relativistisk optik
er argumentationen den samme som i det ikke-relativistiske tilfælde, hvorfor tiden
mellem ankomsten af to bølgetoppe er
1+w/c
T = T0
. (4.3)
1−w 2 /c2 3. Iagttageren bevæger sig mens kilden er i hvile (v = 0; w = 0):
I laboratoriesystemet er tiden mellem modtagelsen af to bølgetoppe, som i det
ikke-relativistiske tilfælde, T0/(1 − v/c). Modtagelsen af de to bølgetoppe sker i
laboratorie-systemet i to forskellige rum-punkter, hvorfor laboratorietiden er forlænget
med γ-faktoren i forhold til tiden i iagttagerens system, som tilsvarer egentiden.
Tiden i iagttagerens system er dermed
1−v 2 /c2 T = T0 . (4.4)
1−v/c
Betragter vi nu situationen, hvor kilden og iagttageren bevæger sig væk fra hinanden
med den relative hastighed u, kan dette f.eks. opn˚as ved enten i (4.3) at sætte w = u
eller ved i (4.4) at sætte v = u. Ved en simpel aritmetisk omskrivning finder vi, at
1+u/c
1−u 2 /c 2 =
1−u 2 /c2 ,
1−u/c
hvorfor de to udtryk (4.3) og (4.4) er identiske, som vi jo netop m˚a kræve af en relativistisk
invariant teori. Ved f.eks. at vælge formen (4.3) for T finder vi nu følgende udtryk
for den relativistiske Doppler-effekt
νrel 1−u 2 /c2 = , (4.5)
1+u/c
som ogs˚a kan skrives p˚a formen
Ikke-parallelle hastigheder
ν0
νrel
ν0
=
1−u/c
.
1+u/c
(4.6)
Ved ovenst˚aende betragtninger er vi stiltiende g˚aet ud fra, at de tre hastigheder c, v
og w var parallelle. Vi vil nu undersøge effekten, n˚ar dette ikke er tilfældet, idet vi her
indskrænker os til alene at betragte virkningen af, at kildens hastighed ikke er parallel
med bølgens. Til dette brug tænker vi os en situation, som illustreret p˚a Figur 4.2, hvor
iagttageren er i hvile i begyndelsespunktet af et inertialsystem S, mens kilden befinder
sig p˚a den positive x-akse. Kilden bevæger sig med hastigheden u, som danner vinklen α
med x-aksen. Afstanden mellem kilde og iagttager tænkes at være meget stor, s˚aledes at
62