Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

3 Relativistisk kinematik
Gennemregnede eksempler til Kapitel 3
54
3.1 En muon har middellevetiden 2.2 × 10 −6 s. Muoner dannes i de højere lag af
atmosfæren; de er efterkommere af pioner, der dannes n˚ar den primære kosmiske
str˚aling fra verdensrummet støder mod atomkerner i atmosfæren.
Antagatvibetragtermuonermedmiddelvejlængden10km.Finddisseshastighed.
Generelt bevæger en partikel med levetiden τ sig vejlængden d = γvτ = γβcτ i
laboratoriet før den henfalder. Vejlængden er alts˚a proportional med γβ. Vi søger
her hastigheden, alts˚a β. Lad os være generelle og foretage følgende omskrivning,
som let eftervises,
Hermed er
hvoraf
β =
βγ =
1
β −2 −1 .
1
=
β−2 −1 d
cτ ,
1+
cτ
2
−1/2
. (3.20)
d
Vedindsættelseafdeopgivnetalværdierf˚asdadetefterspurgteresultat,β = 0.998.
Ofte er man interesseret i partiklens γ-værdi. Her kan vi tilsvarende foretage omskrivningen
βγ = γ 2 −1,
hvoraf nu f˚as
γ =
1+
Ved indsættelse af talværdier f˚as da resultatet, γ = 15.2.
2
1/2
d
. (3.21)
cτ
De fundne værdier af β og γ skal selvsagt stemme overens, hvilket let kontrolleres.
3.2 Et rumskib rejser væk fra Jorden med hastigheden c/2. P˚a et tidspunkt udsender
den en redningsb˚ad i en vinkel p˚a 60 ◦ i forhold til sin bevægelsesretning med hastigheden
c/3, begge m˚alt i rumskibets inertialsystem. Find størrelsen og retningen
af redningsb˚adens hastighed m˚alt i Jord-systemet.
Vi lader S og S ′ betegne henholdsvis Jord-systemet og raketsystemet, og orienterer
x-aksen og dermed x ′ -aksen i rumskibets retning. Vi kan da anvende udtrykkene
(3.11) for sammensætning af hastigheder direkte, idet v s˚aledes angiver rumskibets
hastighed, og u og u ′ angiver redningsb˚adens hastighed i de to systemer. Dermed
er v = c/2, u ′ x = u ′ cosθ ′ = c/6, og u ′ y = u ′ sinθ ′ = ( √ 3/6)c. Ved indsættelse f˚as
da
ux =
1 1
2 + 6
1+ 1
2
· 1
6
c = 8
13 c og uy =
√
3
6
√2 (1+
3 1
2
3
1 c =
· 6 ) 13 c