Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

More documents

Recommendations

Info

4-impuls 6 Relativistisk mekanik mekanik være fuldstændig forkert. Sammenfattende m˚a vi alts˚a kræve for den nye mekaniks love, (i) at de har samme form i ethvert inertialsystem, og (ii) at de for ikke-relativistiske hastigheder er konforme med de Newtonske love. 6.2 Den nye mekaniks aksiomer Vi søger nu en Lorentz-invariant beskrivelse af mekanikken, som i det klassiske tilfælde beskrives ved Newtons love. Idet vi indskrænker os til at betragte punktformede legemer, beskæftiger mekanikken sig primært med partikelkollisioner, partikelsystemer og partikler i eksterne felter. Lad os dog her understrege, at tyngdekraften antages fraværende i den specielle relativitetsteori, idet denne finder sin beskrivelse i den generelle relativitetsteori gennem en krumning af rumtiden. Før vi p˚abegynder etableringen af den relativistiske mekanik, bør det understreges, at denne ikke lader sig udlede ved logiske argumenter, men at vi m˚a indføre aksiomer og derefter kontrollere de afledede fysiske lovmæssigheder empirisk. Kraften, som er et centralt begreb i den klassiske mekanik, spiller en mindre fremtrædende rolle i relativitetsteorien, hvor den primært manifesterer sig gennem den elektromagnetiske Lorentz-kraft. Tyngdekraften er som allerede nævnt fraværende. Det er derfor bekvemt at benytte impulsbevarelsen (som jo i den klassiske mekanik er et afledet resultat) som udgangspunkt for den relativistiske mekanik. 6.2.1 Fire-impulsen og den relativistiske impuls Idet vi søger en Lorentz-invariant mekanik, er det hensigtsmæssigt at basere formuleringen p˚a 4-vektorer. Lorentz-invariansen er da automatisk sikret. Kravet om impulsbevarelse m˚a da involvere partiklers 4-impuls, og vi søger nu en hensigtsmæssig definition af denne. Lad os starte med at antage, at den til enhver partikel knyttede inertielle masse, m, som vi kender fra den klassiske mekanik, er en Lorentz-invariant størrelse. Vi kan da definere en partikels 4-impuls i analogi med, hvordan 3-impulsen er defineret, nemlig P = mU, (6.1) hvor U er 4-hastigheden. Ligesom U er P hermed tidsagtig og peger mod fremtiden. Idet U 2 = c 2 ifølge (5.24) f˚ar vi umiddelbart for enhver 4-impuls Ved anvendelse af komponent-formen (5.22) for U finder vi P 2 = m 2 c 2 . (6.2) P = mU = mγ(u)(c,u) ≡ (γ(u)mc,p), (6.3) hvor vi ved den sidste ligning har indført notationen 90 p = γ(u)mu. (6.4)
6.2 Den nye mekaniks aksiomer Formalismen leder alts˚a naturligt til størrelsen p, som vi kalder den relativistiske impuls. relativistisk impuls Bemærk, at den relativistiske impuls for sm˚a hastigheder, u/c ≪ 1, g˚ar over i den klassiske impuls, mu. Bemærk yderligere, at grundet γ-faktoren kan den relativistiske impuls vokse uden begrænsning, selvom hastigheden u er begrænset af c. 6.2.2 Fire-impuls-bevarelse Vi tager nu som grundlæggende aksiom for den relativistiske mekanik, at 4-impulsen er bevaret i ethvert partikelsammenstød. Summen af 4-impulsen før et sammenstød er alts˚a den samme som summen af 4-impulsen efter et sammenstød, alts˚a i=1,N før Pi = j=1,N efter Pj, (6.5) hvor i løber over alle N før partikler før sammenstødet, og j løber over alle N efter partikler efter sammenstødet. Bemærk, at N efter kan være forskellig fra N før , ligesom sammenstødet kan være elastisk s˚avel som uelastisk. Da (6.5) er en relation mellem 4-vektorer er vores grundlæggende aksiom automatisk Lorentz-invariant; den vil gælde i ethvert inertialsystem. Den første af vore forudsætninger er dermed opfyldt. Ved anvendelse af komponentformen (6.3) for P kan den grundlæggende bevarelsessætning (6.5) udtrykkes som to separate sætninger, nemlig bevarelsen af den relativistisk impuls, og bevarelsen af størrelsen γ(u)m, i=1,N før i=1,N før p i = j=1,N efter γ(ui)mi = j=1,N efter p j, (6.6) γ(uj)mj. (6.7) I den ikke-relativistiske grænse (u/c ≪ 1) hvor γ ≃ 1, tilsvarer (6.6) og (6.7)˚abenbart den klassiske mekaniks sætninger om henholdsvis impuls- og masse-bevarelse. Hermed tilfredsstillervoresrelativistiskelovforudsætningerne,nemligatdenerLorentz-invariant og konform med den Newtonske mekanik. Ogs˚a i den formelle grænse c → ∞ g˚ar vore nye love over i de klassiske bevarelsessætninger. 6.2.3 Eksempel: Impulsbevarelse i stød mellem to partikler Lad os nu ved et konkret eksempel se, hvorledes definitionen (6.4) af den relativistiske impuls leder til impulsbevarelse i partikelsammenstød. Til dette brug betragter vi et sammenstød mellem to identiske partikler, som bevæger sig med samme hastighed u, men i modsat retning, langs de respektive z-akser i de to sædvanlige inertialsystemer S og S ′ . Hver af dem vil da ifølge (3.10) have en hastighed set fra det andet system, hvis z-komponent har størrelsen u/γ(v). Lad os antage, at partiklerne kolliderer og smelter 91
Page 1:
Introduktion til den specielle rela
Page 5 and 6:
Indhold 1 Fra det Newtonske til det
Page 7:
Indhold 6 Relativistisk mekanik 89
Page 10 and 11:
eferencesystem inertialsystem 1 Fra
Page 12 and 13:
invariant 1 Fra det Newtonske til d
Page 14 and 15:
1 Fra det Newtonske til det speciel
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Einsteins første postulat Einstein
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Fysisk definition af samtidighed 2
Page 28 and 29:
Fysisk definition af længde hvilel
Page 30 and 31:
Egentid for proces: Varighed i det
Page 32 and 33:
2 Lorentz-transformationen et vilk
Page 34 and 35:
2 Lorentz-transformationen Benyttel
Page 36 and 37:
2 Lorentz-transformationen Dette li
Page 38 and 39:
2 Lorentz-transformationen og c 2 d
Page 40 and 41:
2 Lorentz-transformationen y u uP
Page 42 and 43:
2 Lorentz-transformationen 2.10 Gra
Page 44 and 45:
2 Lorentz-transformationen O ct A F
Page 46 and 47:
Egenacceleration: acceleration i de
Page 48 and 49: 2 Lorentz-transformationen 2.3 Vis,
Page 50 and 51: 2 Lorentz-transformationen 42 b) Af
Page 52 and 53: 3 Relativistisk kinematik S S ′ v
Page 54 and 55: 3 Relativistisk kinematik For ethve
Page 56 and 57: 3 Relativistisk kinematik bevægede
Page 58 and 59: 3 Relativistisk kinematik 3.4 Tvill
Page 60 and 61: 3 Relativistisk kinematik 3.5.1 Par
Page 62 and 63: 3 Relativistisk kinematik Gennemreg
Page 64 and 65: 3 Relativistisk kinematik 56 3.6 To
Page 66 and 67: 3 Relativistisk kinematik b) To par
Page 68 and 69: 4 Relativistisk optik (1) (2) (3) v
Page 70 and 71: 4 Relativistisk optik er argumentat
Page 72 and 73: 4 Relativistisk optik I det modsatt
Page 74 and 75: 4 Relativistisk optik γ Draconis P
Page 76 and 77: 4 Relativistisk optik eller cotθ =
Page 78 and 79: 4 Relativistisk optik E ′ F ′ l
Page 80 and 81: 4 Relativistisk optik 72 4.4 I˚are
Page 82 and 83: 5 Rumtiden og fire-vektorer y Figur
Page 84 and 85: interval kausal fremtid kausal fort
Page 86 and 87: 5 Rumtiden og fire-vektorer homogen
Page 88 and 89: 5 Rumtiden og fire-vektorer hvor vi
Page 90 and 91: 5 Rumtiden og fire-vektorer Kvadrat
Page 92 and 93: egenacceleration 5 Rumtiden og fire
Page 94 and 95: 5 Rumtiden og fire-vektorer Gennemr
Page 96 and 97: 5 Rumtiden og fire-vektorer 88 at m
Page 100 and 101: 6 Relativistisk mekanik z ′ S ′
Page 102 and 103: hvileenergi totalenergi kinetisk en
Page 104 and 105: 6 Relativistisk mekanik følger rø
Page 106 and 107: 6 Relativistisk mekanik E E0 = mc 2
Page 108 and 109: 6 Relativistisk mekanik foton E ele
Page 110 and 111: invariant masse Den invariante mass
Page 112 and 113: 6 Relativistisk mekanik Events / 2
Page 114 and 115: 6 Relativistisk mekanik Den totale
Page 116 and 117: 6 Relativistisk mekanik 6.9 Reaktio
Page 118 and 119: 6 Relativistisk mekanik 6.10.1 Tran
Page 120 and 121: 6 Relativistisk mekanik relativisti
Page 122 and 123: 6 Relativistisk mekanik støderimid
Page 124 and 125: 6 Relativistisk mekanik 6.2 En part
Page 126 and 127: 6 Relativistisk mekanik hvor er b e
Page 128 and 129: 6 Relativistisk mekanik 12 C 12.000
Page 130 and 131: 6 Relativistisk mekanik Beregnproto
Page 133: Appendiks 125
Page 136 and 137: A Invariant? Bevaret? Konstant? Det
Page 139 and 140: C Løsninger til opgaver Opgaver ti
Page 141 and 142: 5.6 Lad os løse opgaven under den
Page 143 and 144: Indeks γ-funktionen, 27 transforma
show all

Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?