Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

4.1 Doppler-effekten
I det tilfælde, hvor b˚ade oscillatoren og iagttageren er i bevægelse i forhold til mediet,
kombineres argumenterne ovenfor, hvorfor tiden mellem ankomsten af to bølger generelt
er
T = T0
1+w/c
1−v/c .
Da frekvensen er omvendt proportional med perioden er udtrykket for den klassiske
Doppler-effekt derfor
νkl
= 1−v/c
. (4.1)
1+w/c
ν0
Det kan umiddelbart bemærkes, at dette udtryk m˚a modificeres i den relativistiske teori,
alts˚a for beskrivelsen af lysbølger. Den klassiske effekt afhænger jo netop af b˚ade
oscillatorens (w) og iagttagerens (v) hastighed i forhold til mediet. I den relativistiske
fremstilling m˚a vi derimod kræve, at den iagttagne frekvens alene afhænger af den relative
hastighed af kilde og iagttager.
Indskud 4.1 Man har ofte brug for at udtrykke Doppler-effekten ved bølgelængder snarere
end som ovenfor ved frekvenser. Dette opn˚as enkelt via sammenhængen,
c = λν, (4.2)
mellem en bølges udbredelseshastighed, c, bølgelængde, λ, og frekvens, ν. Der er alts˚a
et reciprokt forhold mellem bølgelængden og frekvensen, hvorfor udtrykket (4.1) for
Doppler-effekten umiddelbart tager formen
λkl
λ0
= 1+w/c
1−v/c .
Det reciprokke forhold (4.2) mellem frekvenser og bølgelængder er af en ren geometrisk
natur og gælder selvfølgelig ogs˚a relativistiskt.
4.1.2 Den relativistiske Doppler-effekt
Vi anlægger nu en relativistisk betragtning, idet vi ønsker at beskrive udbredelsen af
lysbølger. Vi vil imidlertid i første omgang g˚a frem ved, som i det klassiske tilfælde, at
betragte bevægelsen af oscillator og iagttager som separate fysiske fænomener. Dette
gør vi vel vidende at de to situationer under den relativistisk betragtning m˚a være
ækvivalente. Igen g˚ar vi alts˚a frem ved at følge Figur 4.1:
1. B˚ade kilden og iagttageren er i hvile i forhold til mediet (v = 0; w = 0):
Den iagttagne frekvens er lig med oscillatorfrekvensen ν0 = 1/T0.
2. Iagttageren er i hvile mens kilden bevæger sig (v = 0; w = 0):
IiagttagerensinertialsystemerdetforkildenkarakteristisketidsintervalT0 grundet
denrelativistisketidsforlængelseforlængetmedγ-faktoren(1−w 2 /c 2 ) −1/2 .Herefter
61