Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

B Rækkeudvikling i relativitetsteorien
I relativitetsteorien har man igen og igen behov for at estimere værdien af γ-funktionen
γ =
1
, (B.1)
1−v 2 /c2 i den ikke-relativistiske grænse, hvor v ≪ c. Dette gøres ved rækkeudvikling.
Det første vi bemærker er, at γ er en funktion af v 2 /c 2 og derfor er af formen
f(ǫ) = (1−ǫ) a , (B.2)
hvor a = −1 2 . For sm˚a værdier af ǫ vælger vi at rækkeudvikle til første orden omkring
ǫ = 0, s˚aledes at
f(ǫ) ≃ f(0)+ǫ df(ǫ)
. (B.3)
dǫ
Ved at følge normale differentiationsregler f˚ar vi
hvoraf
ǫ=0
df(ǫ)
dǫ = −a(1−ǫ)a−1 , (B.4)
df(ǫ)
dǫ
ǫ=0
Vi indsætter nu i (B.3) og har dermed vist sammenhængen
Anvender vi nu dette p˚a γ-funktionen, finder vi
= −a. (B.5)
(1−ǫ) a ≃ 1−aǫ. (B.6)
1
1−v 2 /c 2
1v
≃ 1+
2
2
c2. (B.7)
129