Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6 Relativistisk mekanik
6.2 En partikel med massen M henfalder til to partikler med masser m1 og m2. Bestem
de to partiklers impuls og energi i M’s hvilesystem.
116
De to henfaldsprodukter har modsatrettede impulser med samme størrelse, p, som
vi starter ud med at finde.
Vi benytter 4-impulsbevarelse
P = P1 +P2,
hvor P1 flyttes over p˚a venstresiden før der kvadreres:
P 2 +P 2 1 −2P·P1 = P 2 2.
Vi indfører kvadraterne P 2 = M 2 c 2 , P 2 1 = m2 1 c2 og P 2 2 = m2 2 c2 og udnytter, at M
er i hvile. Alts˚a er P = (Mc,0) og dermed
eller tilsvarende
M 2 c 2 +m 2 1c 2 −2ME1 = m 2 2c 2 ,
E1 = c2
2M
2 2
M +m1 −m 2 2 .
Denne kvadreres, og sammenhængen E 2 = p 2 c 2 +m 2 c 4 indføres for E1:
p 2 = c2
4M 2
2 2
M +m1 −m 22 2
2 −m1c 2 .
Hermed har vi s˚adan set fundet det søgte udtryk. Imidlertid vil vi gerne have
udtrykket p˚a en form, som er manifest symmetrisk i m1 og m2, som vi m˚a kræve
(hvorfor?). Dette opn˚as efter en del“gymnastik”, hvor vi starter med at kvadrere
p˚a højresiden og flytte sidste led ind i parentesen
p 2 =
=
=
c2 4M2 c2 4M2 c 2
4M 2
4 4
M +m1 +m 4 2 +2M 2 m 2 1 −2M 2 m 2 2 −2m 2 1m 2 2 −4M 2 m 2 1
4 4
M +m1 +m 4 2 −2M 2 m 2 1 −2M 2 m 2 2 +2m 2 1m 2 2 −4m 2 1m 2 2
2 2
(M −m1 −m 2 2) 2 −4m 2 1m 2 2
Vi har hermed fundet der søgte udtryk.
(6.65)
Vi kan nu finde energierne ved endnu engang at benytte sammenhængen E 2 =
p 2 c 2 +m 2 c 4 . Igen kræver det lidt gymnastik at komme frem til resultaterne
E1 = c2
2M (M2 +m 2 1 −m 2 2), og E2 = c2
2M (M2 +m 2 2 −m 2 1). (6.66)
Det ses, at udtrykket for E2 f˚as ved i udtrykket for E1 at bytte om p˚a partikel 1
og 2.
Bemærk, at den forrige opgave er et specialtilfælde af denne.