Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

Opgaver til Kapitel 6
retning, hvorved den selv opn˚ar hastigheden U i den modsatte retning. Dens masse
er da MF. Opskriv 4-impulsen af raketten og de udsendte fotoner i begyndelsesog
slut-tilstanden, og udled sammenhængen
MF c−U
=
c+U .
MI
6.22 Den relativistiske raket
En raket accelererer fra hvile langs en ret linie og opn˚ar derved hastigheden u.
Accelerationen foreg˚ar ved, at en gas udsendes med den konstante hastighed VG i
forhold til raketten. Det antages, at der ingen ydre kræfter virker p˚a raketten.
a) Vis, ved at benytte impulsbevarelse, energibevarelse og udtrykket for sammensætning
af parallelle hastigheder, at sammenhængen mellem rakettens
øjeblikkelige masse, m, og hastighed, u, er bestemt ved differentialligningen
m du
dm +VG
1− u2
c 2
= 0.
b) Vis, at forholdet mellem rakettens masse i sluttilstanden, MF, og i begyndelsestilstanden,
MI, er givet ved sammenhængen
MF
MI
=
c/2VG c−U
,
c+U
hvor U er rakettens hastighed i sluttilstanden. Bemærk, at dette reducerer til
udtrykket for foton-raketten (forrige opgave), n˚ar vi sætter VG = c.
c) Vis, at for c → ∞ g˚ar dette udtryk over i det klassiske resultat
MF
MI
= e −U/VG .
6.23 Et rumskib rejser til Mælkevejens centrum, som befinder sig i afstanden 25000
lys˚ar fra Jorden. Rumskibet rejser retliniet med en konstant egenacceleration p˚a
1 g (9.81 m/s 2 ).
a) Hvor lang tid tager rejsen set fra Jorden?
b) Hvor lang tid tager rejsen set fra rumskibet.
c) Efter hvor lang tid vil det være for sent at sende et lyssignal fra Jorden til
rumskibet for at afblæse rejsen.
123