Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5 Rumtiden og fire-vektorer
hvor vi har indført betegnelsen β = v/c. Idet vi som tidligere begrænser os til udelukkende
at betragte homogene transformationer, alts˚a transformationer, der lader begivenheden
(0,0,0,0) uforandret, udgør ogs˚a X = (ct,x,y,z) en 4-vektor, som vi kan kalde
begivenhedens stedvektor. Ofte ser man X anført som prototypen p˚a en 4-vektor, hvilket
strengt taget kun er korrekt, hvis man husker at anføre, at man kun betragter homogene
transformationer.
Regneregler for Idet transformationsligningerne (5.11) for 4-vektorer er af samme type som transfor-
4-vektorer mationsligningerne (5.6) for 3-vektorer, og alts˚a er lineære og homogene, kan vi benytte
præcis de samme argumenter som for 3-vektorer til at vise, at
4-skalar
kvadrat
skalarprodukt
En 4-vektor er enten
tidsagtig, rumagtig
eller lysagtig
i) summen af to 4-vektorer er en 4-vektor;
ii) produktet af en 4-skalar og en 4-vektor er en 4-vektor; og
iii) differentialkvotienten mellem en 4-vektor og en 4-skalar er en 4-vektor.
Her er en 4-skalar defineret som en skalar størrelse (et tal), der er invariant over for
Lorentz-transformationen og dermed har samme værdi i ethvert inertialsystem. En s˚adan
størrelse betegnes ogs˚a en Lorentz-invariant. Lad os her benytte lejligheden til at
bemærke, at skalare størrelser, der er invariante over for transformationer i 3-rummet,
i almindelighed ikke er invariante over for Lorentz-transformationen. I særdeleshed er
tiden, t, ikke en 4-skalar, og vi opn˚ar derfor ikke en 4-vektor ved at differentiere en given
4-vektor med hensyn til t.
Kvadratet p˚a en 4-vektor A = (A0,A1,A2,A3) er defineret ved
A 2 = A 2 0 −A 2 1 −A 2 2 −A 2 3, (5.12)
og dens invarians følger direkte af invariansen af kvadratet p˚a prototypen ∆X = (c∆t,
∆x, ∆y, ∆z). Den sidste betegnes ogs˚a ∆s, hvilket retfærdiggør notationen (5.5), som
vi har benyttet flere gange. Størrelsen eller længden af en 4-vektor A skrives |A| eller A
og er defineret ved
A = |A 2 | ≥ 0. (5.13)
For to givne 4-vektorer A = (A0,A1,A2,A3) og B = (B0,B1,B2,B3) er skalarproduktet
defineret ved
A·B = A0B0 −A1B1 −A2B2 −A3B3. (5.14)
Præcis som for (5.10) kan vi benytte invariansen af |A|, |B| og |A+B| til at udlede at
ogs˚a skalarproduktet er invariant.
Øvelse 5.1 Eftervis ved direkte anvendelse af (5.11), at skalarproduktet, A · B, af to
givne 4-vektorer er invariant over for en Lorentz-transformation.
5.6 Fire-vektorers geometri
Vi har i Afsnit 5.3 set, hvorledes lyskeglen i forhold til sit begyndelsespunkt inddeler alle
rumtidens begivenheder i tre klasser afhængig af fortegnet p˚a ∆s2 . Den samme inddeling
80