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2.1 MODÈLE CONCEPTUEL POUR L’HYDRAULIQUE UNIDIMENSIONNELLEconceptuel 3 standard – que nous appellerons modèle conceptuel SAINT-VENANT 1D –est constitué de deux éléments principaux :– les équations de Saint-Venant sont deux équations aux dérivées partielles non linéairespermettant de calculer les variables d’un écoulement unidimensionnel surfond fixe. Ces équations font de plus intervenir une inconnue qui est représentéepar la pente de la ligne d’énergie S f ou la débitance K ;– une détermination de la débitance permet ensuite de fermer le système d’équations.Les prochaines sections vont être consacrées à une description plus précise de cesdeux éléments, mais vont aussi évoquer des modules spécifiques ajoutés la plupart dutemps pour former le modèle conceptuel complet, comme les lois d’ouvrages ou lespertes de charge ponctuelles. Il apparaît important de préciser que le modèle conceptuelque nous considérons ici incorpore l’hypothèse – forte – d’un lit rigide, dans lequella géométrie de la rivière ne se déforme pas au cours d’un événement. Ce modèleconceptuel n’inclut en conséquence aucune équation de transport solide.2.1.1 Les équations de Saint-VenantAprès les travaux de Cauchy (1827), Navier (1827), mais aussi Bélanger (1828),Dupuit (1863) a le premier apporté ses réflexions sur le mouvement des eaux à débitvariable. Barré de Saint-Venant (1871a), après avoir émis un rapport sur les travaux dePartiot (1871), est revenu notamment sur l’équation de conservation de la masse quecelui-ci avait établie dans un cas particulier. Il a ainsi défini le problème du mouvementnon permanent des eaux dans les canaux découverts, et en a proposé une solution pourdes canaux rectangulaires de pente uniforme (Barré de Saint-Venant, 1871b).Le modèle conceptuel – suivant la définition donnée à la page 8 – à la base desmodèles que nous allons traiter dans la suite de ce mémoire est basé sur la forme classiquedes équations pour les écoulements transitoires graduellement variés qui portentaujourd’hui son nom :⎧∂A∂t ⎪⎨+ ∂Q∂x = q( ) ∂Q+ ∂ ) (β Q2∂t ∂x A⎪⎩} {{ } } {{ }[ I ][ II ]+ g A ∂h∂x} {{ }[ III ]( ) (Q |Q|+ g AK} {{ 2 =}[ IV ])q Q A} {{ }[V](2.1a)(2.1b)L’équation 2.1a rend compte de la conservation de la masse et est appelée équationde continuité ; l’équation 2.1b illustre la conservation de la quantité de mouvement etest appelée équation dynamique.3. Le terme modèle conceptuel utilisé ici – et dans toute la suite du mémoire – doit être pris commele pendant du terme modèle numérique et non comme opposition au terme ✭ modèle à base physique ✮,comme pourrait le laisser entendre la sémantique courante en hydrologie. Le modèle conceptuel considéréici est par ailleurs bien sûr à base physique.28
CHAPITRE 2 ÉLÉMENTS D’UN MODÈLE NUMÉRIQUE DE RIVIÈRELes différentes notations utilisées sont explicitées ci-dessous :Q(x,t) débit (m 3 /s) [ I ] Terme d’accélération localet temps (s) [ II ] Terme convectifx abscisse du cours d’eau (m) [ III ] Terme de pressionA(x,t) section mouillée (m 2 ) [ IV ] Terme de gravitéq débit linéique d’apport latéral (m 2 /s) [ V ] Terme sourceβ coefficient de Boussinesq 4g accélération de la pesanteur (m/s 2 )hKhauteur d’eau (profondeur) (m)débitance (m 3 /s)Ces équations, constituant l’essentiel du modèle conceptuel, sont soumis à plusieurshypothèses dont la vérification expérimentale peut constituer une confirmation de cettethéorie 5 :– l’écoulement s’effectue selon une direction privilégiée ;– la pression sur une verticale est répartie de manière hydrostatique ;– la pente du cours d’eau est faible (inférieure à 10 %) ;– la densité de l’eau est considérée constante.2.1.2 Détermination de la débitanceLa débitance est une mesure quantitative de la capacité hydraulique d’un coursd’eau. Disposer de cette mesure apparaît donc essentiel lorsqu’il s’agit de protectioncontre les inondations, mais aussi de construction d’ouvrages hydrauliques.Afin de faire un point sur les connaissances acquises sur ce sujet, l’Engineering andPhysical Sciences Research Council of the U.K. (EPSRC) a initié, avec le support del’Agence pour l’Environnement britannique, un réseau de connaissances sur la débitance(Network on Conveyance in River/Floodplain Systems 6 ). Ce réseau a permis d’établirun rapport initial (Evans et al., 2001) et de nombreux articles, dont une revue dela débitance dans les modèles numériques unidimensionnels (Knight, 2001). Un projetintitulé Reducing Uncertainty in River Flood Conveyance 7 , et réunissant HR Wallingford,le DEFRA (Department for Environment, Food & Rural Affairs) et l’Agence pourl’Environnement britannique a été lancé sur ces bases. L’objet du deuxième rapportintermédiaire de ce projet fait le point sur les méthodes actuellement utilisées pourdéterminer la débitance (DEFRA/Environment Agency, 2003).Chenaux simples, hétérogènes et composésDans les chenaux simples, la débitance est définie par l’équation suivante :K =Q √Sf(2.3)4. Ce coefficient porte aujourd’hui le nom de celui qui l’a introduit dans son monumental ouvrageEssai sur la théorie des eaux courantes (Boussinesq, 1877a,b).5. En référence à la discussion abordée dans la section 1.4.4 du chapitre précédent.6. ncrfs.civil.gla.ac.uk7. www.river-conveyance.net29
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