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9 Anhang
9.1 Die physikalischen Grundlagen des Beuken-Modells
Im folgenden sollen die physikalischen Grundlagen des Beuken-Modells [Beu-36] (z.B. in
[RoZi-97]) zur Behandlung des eindimensionalen dynamischen Wärmeleitungsverhaltens
einer Wand vorgestellt werden. Das Verfahren ähnelt der elektrischen Netzwerkanalyse. Die
Darstellung folgt Feist [Fei-94].
Der Ausgangspunkt ist die eindimensionale dynamische Wärmeleitungsgleichung (1).
2
λ
x 2
∂ ∂
⋅ Txt ( , ) = cρ ⋅ Txt ( , )
∂
∂t
λ Wärmeleitfähigkeit
c spez. Wärmekapazität
ρ Dichte
Die gesuchte Lösung muss am äußeren Rand ( x = 0)
und inneren Rand ( x = dWand) der
Wand die Randbedingungen (2) erfüllen.
∂T
λ ⋅
∂x
= αa( T – Ta) ∂T
– λ ⋅
∂x
= αi( T – Ti) αi innere Wärmeübergangszahl
αa äußere Wärmeübergangszahl
Das Beuken-Modell zerlegt die feste Wand in Schichten. Hierbei wird keine äquidistante Zerlegung
vorausgesetzt, auch müssen die Materialkonstanten nicht stückweise konstant sein.
Die Zerlegung wird in Abb. 126 gezeigt.
α a
Schicht 1
Schicht 2
...
Schicht j-1
x0=0 xj-1 xj xj+1 x=dWand Schicht j
Abbildung 126:Zerlegung der Wand in einzelne Schichten
Dies entspricht einer Ortsdiskretisierung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung (1)
an den Stützstellen xj . Im folgenden wird die Schreibweise Tj() t = Tx ( j, t)
genutzt. Unter
Anwendung des zentralen Differenzenquotienten erhält man die Differenzengleichung (3).
2
----------------------------
+
λ ⎛ j-1
-------------- ( Tj-1() t – Tj() t ) – ------- ( Tj() t – Tj+1() t ) ⎞ ∂
= cρ
⎝ ⎠ j ⋅ Tj() t
∂t
∆xj – 1
∆x j
∆xj– 1
λ j
∆x j
Schicht j+1
...
α i
(1).
(2).
(3).
mit ∆xj = xj + 1–
xj für 2 ≤ j ≤n-1
Anhang
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