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Charakterisierung und Auswahl einer Entwicklungsumgebung
So ist die unsortierte DAE zu sortieren (Abb. 43). Hierzu werden die Vektoren x und
in einen expliziten und impliziten Teilvektor aufgespalten. Der explizite Anteil des Vektors
enthält nun alle algebraischen Variablen, die explizit aus den anderen Variablen
berechnet werden können. Diese können vor der numerischen Integration verborgen werden
(Abb. 43). So fallen an dieser Stelle alle Schnittstellenvariablen weg, welche durch den komponentenbasierten
Entwurf in die mathematische Beschreibung eingeflossen sind.
· () t yt ()
y
e
y() t
Auch können wesentlich einfacher konsistente Anfangswerte für die Zustandsvariablen
bestimmt werden, da zunächst nur der implizite Anteil von xt () in 0= f
betrachtet werden muss und die Anfangswerte des expliziten Anteils direkt berechnet werden
können. Die vom sortierten DAE-System ausgehende numerische Integration kann so wesentlich
effizienter erfolgen.
r x ·i i
( , xy , , upt , , )
Block-Lower-Triangular-Transformation
Ein gängiges Verfahren zur möglichst expliziten Auflösung eines Gleichungssystems der
Form 0 = fzyupt ( , , , , ) mit
z x
ist die Block-Lower-Triangular-Transformation (BLT).
Das Verfahren beschreibt, wie durch Permutation der Gleichungen und Unbekannten eine
rekursiv auflösbare Form des Gleichungssystems erstellt werden kann [Ott-99d]. Hierzu wird
die Struktur des Gleichungssystems durch eine Inzidenzmatrix abgebildet (Abb. 44). In ihr
wird in der k-ten Spalte und der i-ten Zeile mit 0 oder 1 markiert, ob die k-te Variable in der iten
Gleichung vorkommt oder nicht. Durch Permutationen der Unbekannten und Gleichungen
wird die Inzidenzmatrix und damit auch das Gleichungssystem in die untere Dreiecksform
gebracht. Danach ist ein rekursives Auflösen möglich. Im Beispiel (Abb. 44) wurden die
Variablen unterstrichen, nach denen die jeweiligen Funktionen aufzulösen sind.
·T T
[ , y ] T
=
Somit ist zunächst f2( z1) = 0 nach z1 und f1( z2, z3) = 0 nach z3 aufzulösen, dann
f3( z1, z2, z3) = 0 nach z2 .
Nachdem jeder Gleichung eine Variable zugeordnet werden kann, nach der diese aufzulösen
ist, kann das Gleichungssystem als gerichteter Graph aufgefasst werden (Abb. 44). Die Knoten
des Graphen repräsentieren die einzelnen Gleichungen. Innerhalb der Knoten bedeutet
f → z , dass die Funktion f nach z
aufzulösen ist. Die gerichteten Kanten des Graphen
bedeuten, dass die an der Pfeilspitze berechnete Variable von der Gleichung am Pfeilende
benötigt wird.
Von besonderer Bedeutung für die Berechnung des Gleichungssystems ist das Auftreten von
Schleifen innerhalb des gerichteten Graphen. Dies bedeutet, dass die zugehörigen Variablen
voneinander abhängen und nicht rekursiv berechnet werden können. Nach ihrer Detektion
werden die Schleifen zu „Superknoten“ zusammengefasst und der resultierende azyklische
Graph rekursiv ausgewertet.
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