Dokument_1.pdf (2548 KB) - KLUEDO - Universität Kaiserslautern

A
Ys ( ) Gs ( )Us ( )
s 2 = = -------- =
B
Yz ( )
c0 s 2
----
c 1
+ ---- +
s
∑
Aus der z-Transformierten der Systemantwort Yz ( ) (Abb. 137) lässt sich durch Division mit
der z-Transformierten der erregenden Funktion Uz ( ) (Abb. 137) die z-Transformierte der
Übertragungsfunktion ablesen. Ziel ist es, letztere in die Form einer Reihendarstellung zu
überführen, deren Koeffizienten vorab berechnet werden können.
Bringt man die Summanden von G(z) auf einen gemeinsamen Nenner, erkennt man, dass dieser
die Form des in Abb. 138 gezeigten Produktes hat. Die sich nach Ausmultiplizieren ergebende
Summe besitzt schnell kleiner werdende Summanden, so dass es genügt sie nur bis zu
einem maximalen n auszuwerten und die weiteren Summanden zu vernachlässigen. Das Zählerpolynom
berechnet sich analog.
∞
=
n 1
d n
-----------s
– βn A
dA
A
c0 = -- c
B
1 = -- d
dsB
n = -------------
2 dB
s = 0
s = 0 s -----ds
c0T z 1 z 1 –
( – ) 2
c1 -----------------------
1 z 1 –
dn -------------
–
1 e β ∞
= + + ∑ -----------------------n
= 1
nT – 1
– z
Abbildung 136: Berechnung der z-Transformierten der Systemantwort Y(z).
Die Koeffizienten ergeben sich als Ergebnis einer Partialbruchzerlegung.
Die Größen βn sind die Nullstellen von B.
Us ( ) 1 s 2
ut () = t
= ⁄
Uz ( ) T ⁄ z 1 z 1 –
( – ) 2
=
Abbildung 137:Berechnung der z-Transformierten der erregenden Funktion
Gz ( )= Az ( )
------------
Bz ( )
=
Yz ( )
-----------
Uz ( )
Bz ( ) 1 e β ∞
nT – 1
∏ ( – z )
n = 1
1 e β ⎛ ∞ ⎞
⎜ nT⎟
⎜ ∑ ⎟
z
⎝n= 1 ⎠
1 –
Berechnung des Nennerpolynoms durch Ausmultiplizieren
= = – + …
Berechnung des Zählerpolynoms
Az ( ) Bz ( ) Yz ( )
⋅ ----------- 1 e
Uz ( )
β ∞
1
nT – 1 z 1 z
∏ ( – z ) Yz ( ) –
( – ) 2
z-Transformierte der Übertragungsfunktion
= =
⋅ ⋅ ----------------------
T
n = 1
Abbildung 138:Die z- Transformierte der Übertragungsfunktion
s = βn Anhang
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