Dissertation

A.4. Bestimmung der Fourierkoeffizienten
Zur Bestimmung der Fourierkoeffizienten eines zweistufigen Gitters wird das Integral
A n = 1 p
∫
p
u p e −2πjnνx dx
(A.4)
gelöst. Für ein Gitter mit komplexer Amplitudentransmissionsfunktion ergibt sich
für die nullte Ordnung (n = 0):
A 0 = 1 p
= 1 p
∫
= u p1
p
p
u p e −2πjnνx dx
p 1 /2 ∫
−p 1 /2
u p1 dx + 1 p
[ p1
2 − −p 1
2
=u p1
p 1
p + u p2
−p 1 /2 ∫
−p/2
]
+ u p2
p
p − p 1
p
=δ(u p1 − u p2 ) + u p2
u p2 dx + 1 p
[ −p1
2 − −p
2
p/2 ∫
p 1 /2
u p2 dx
]
+ u p2
p
[ p
2 − p ]
1
2
(A.5)
Die Spezialfällte eines reinen Amplituden- oder Phasengitters erhält man durch
Einsetzen der entsprechenden u p1 und u p2 . Das Tastverhältnis ist δ = p 1 /p. Die
Beugungseffizienz ist das Betragsquadrat der Fourierkoeffizienten. Es ergibt sich
für die nullte Ordnung.
[
] [
]
|A 0 | 2 = δ(u 1 e jφ 1
− u 2 e jφ 2
) + u 2 e jφ 2
δ(u 1 e −jφ 1
− u 2 e −jφ 2
) + u 2 e −jφ 2
=δ 2 [u 2 1 + u 2 2 − 2u 1 u 2 cos(φ 1 − φ 2 )] − δ[2u 2 2 − 2u 1 u 2 cos(φ 1 − φ 2 )] + u 2
2
Für alle anderen Ordnungen (n ≠ 0) wird berechnet:
A n = 1 p
= 1 p
∫
= u p1
p
= u p1
p
p
u p e −2πjnνx dx
p 1 /2 ∫
−p 1 /2
u p1 e −2πjnνx dx + 1 p
[e −2πjnνx] p 1 /2
−p 1 /2 ∫
−p/2
u p2 e −2πjnνx dx + 1 p
1
−2πjnν
+ u p2 1
−p 1 /2 p −2πjnν
1
]
[e −2πjnν p 1
2 − e
2πjnν p 1
2
−2πjnν
[
1
e −2πjnν −p 1
−p
−2πjnν 2 − e 2
−2πjnν
+ u p2
p
= sin(πnδ) (u p1 − u p2 ).
πn
158
p/2 ∫
p 1 /2
[e −2πjnνx] −p 1 /2
]
+ u p2
p
u p2 e −2πjnνx dx
−p/2
+ u p2
p
(A.6)
1 [e −2πjnνx] p/2
−2πjnν
p 1 /2
1
]
[e −2πjnν p 2 − e
−2πjnν p 1
2
−2πjnν
(A.7)