Dissertation

46 4.1. Selbstabbildung periodischer Strukturen - Der Talboteffekt
Dabei ist c 0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Durch Vernachlässigung des
vektoriellen Charakters (Polarisation) und Separation der Zeitabhängigkeit (stationäre
Felder) gelangt man zur Helmholtzgleichung
∆U + k 2 U = 0, (4.4)
die skalar und stationär ist. Die Lichtausbreitung erfolgt im homogenen Medium,
d.h. es gibt keine Kopplung zwischen den Komponenten des elektrischen und magnetischen
Feldes. U ist dabei eine dreidimensionale komplexe Amplitude, k ist
die Wellenzahl. Die optischen Bauelemente werden als dünn betrachtet, d.h. sie
sind in ihrer Wirkung auf eine Ebene beschränkt und somit als reines Phasenobjekt
behandelt.
Die exakte Lösung der Helmholtzgleichung für U(x, y, z) ist das Debye-Sommerfeldsche
Beugungsintegral. Für relativ kleine Winkel kann mit dem Kirchhoffschen
Beugungsintegral
U(P 1 ) = 1 ∫ ∫
U(P 0 ) ej(kr 01)
cos(ɛ)ds (4.5)
jλ Σ r 01
genähert werden, das über die beugende Öffnung Σ integriert. Das Integral drückt
das beobachtete Feld U(P 1 ) als Superposition divergierender Kugelwellen der
Form exp(jkr 01 )/r 01 aus, die von Sekundärlichtquellen in jedem Punkt P 0 in der
Apertur Σ ausgehen [24]. Dieses repräsentiert das Huygenssche Prinzip, welches
besagt, dass jeder Punkt Ausgangspunkt einer Elementarwelle ist, die kohärent
zu einer resultierenden Welle interferieren. Das Kirchhoffsche Beugungsintegral
y 0
x 0
y
S
P 1
r01
z
e
P 0
x
Beugungsebene
Beobachtungssebene
Bild 4.2.: Beugungsgeometrie.
dient nun als Ausgangspunkt zur Herleitung des Fresnelschen Beugungsintegrals.
Bild 4.2 zeigt die Beugungsgeometrie. ɛ ist der Winkel zwischen dem Normalenvektor
und dem Vektor ⃗r 01 , der vom Punkt P 0 in der Beugungsebene zum Punkt
P 1 in der Beobachtungsebene zeigt. cos ɛ wird gegeben durch
cos ɛ =
z
r 01
. (4.6)