Dissertation

60 4.2. Modellierung der Partikelstreuung im wellenoptischen Modell
4.2. Modellierung der Partikelstreuung im
wellenoptischen Modell
Der Ansatz der Monte-Carlo-Simulation, wie er in Kapitel 3.3.1 beschrieben wurde,
ist gut für optische Gesamtsysteme geeignet, die mit Raytracing simuliert
werden können. Soll allerdings ein Verfahren untersucht werden, dass auf wellenoptischen
Effekten beruht, führt dieser Ansatz nicht zum Ziel. Das angestrebte
Talbotinterferometer stellt ein solches System dar, das mit Wellenoptik beschrieben
werden muss. Aus diesem Grund muss ein anderer Simulationsansatz gefunden
werden. Während seiner Masterarbeit untersuchte R. Kampmann [66] die
kombinierte Simulation von Partikelstreuung und dem Talboteffekt. Dabei wird
die Gitterbeugung numerisch mit dem Softwareparket VirtualLab modelliert. Die
Partikelstreuung wird in Form einer mit der Streufunktion gewichteten Kugelwelle
überlagert. Allerdings ist dieser Ansatz nur für das Fernfeld anwendbar, das je
nach Partikelgröße erst einige mm hinter dem Partikel beginnt.
Wie in Abschnitt 2.1.3 hergeleitet wurde, kann bei großen Partikeln die Streuung
in die Einzeleffekte Brechung/Reflexion und Beugung aufgeteilt werden. Betrachtet
man darüberhinaus die Vorwärtsrichtung, so sind die Effekte durch Brechung
und Reflexion sehr gering. Ein vielversprechender Ansatz ist daher die
Simulation der Streufunktion durch das Beugungsbild der Partikel. Um auch der
Bereich relativ dicht hinter dem Partikel abzudecken, reicht es nicht, nur den
Bereich der Fraunhoferbeugung zu betrachten, stattdessen muss das Fresnelbeugungsintegral
herangezogen werden. Allerdings beginnt der Gültigkeitsbereich der
Fresnelbeugung auch nicht unmittelbar hinter dem Hindernis. In der Literatur
lassen sich Untersuchungen zur Genauigkeit der Fresnelnäherung finden [24, 49].
Goodmans Formel ( [24], Kapitel 4.2.2, [67]) liefert für eine undurchsichtige Scheibe
mit dem Radius a =50 µm und einer kreisförmigen Beobachtungsebene mit
dem Radius 2a bei einer Wellenlänge von 633 nm als Grenze für den axialen
Abstand: z 3 >> πa 4 /4λ=198 µm.
4.2.1. Beugung an einer kreisrunden Scheibe
Die Streuung an einem Partikel wird durch die analytische Lösung für die Fresnelbeugung
U p (x, y, z) an einem undurchsichtigen Scheibchen mit dem Radius a
modelliert. Das Fresnelbeugungsintegral aus Gleichung 4.12 dient als Ausgangspunkt.
Bild 4.12 zeigt die Beugungsgeometrie. Eine ebene Welle beleuchtet das
Scheibchen, das sich bei z = 0 in der Beugungsebene befindet. Die zur Beugungsebene
parallele Beobachtungsebene beinhaltet dann die resultierende Feldverteilung.
Der Lösungsansatz orientiert sich an der Arbeit von Sommargren und
Weaver [67], wurde aber für die Beleuchtung mit einer ebenen Welle adaptiert. Da
es sich um ein rotationssymmetrisches Beugungsproblem handelt, wird zunächst